Сферический треугольник и его применение

Федеральное агентство по образованию

ГОУ «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет»

Чебоксарский институт экономики и менеджмента (филиал)

Кафедра высшей математики и информационных технологий

курс «Математика»

Тема «Сферический треугольник и его применение»

Выполнил (а) студент (ка)

1 курса очного отделения

специальности 080507

«Менеджмент организации»

Владимирова Регина Олеговна

Научный руководитель:

Максимова.М.В

Чебоксары

2011

Содержание

1. Понятие сферического треугольника……………………………….4

2. Свойства сферического треугольника………………………………4

3. Страница из «Собрания правил науки астрономии», XI в.,

автор неизвестен…………………………………………………......5

4. Применение сферического треугольника в астрономии…………..5

5. Применение сферического треугольника в географии……………6

6. Применение сферического треугольника в архитектуре………….7

7. Применение сферического треугольника в дизайне……………… 8

8. Применение сферического треугольника в гравюре………………9

9. Разбор задач………………………………………………………….10

10. Список использованной литературы……………………………… 13

Объект исследования: сферический треугольник.

Цель: изучение теоретических вопросов в области сферического треугольника и его применение в решении задач.

Понятие сферического треугольника

Сферический треугольник — геометрическая фигура на поверхности сферы, образованная пересечением трёх больших кругов. Три больших круга на поверхности сферы, не пересекающихся в одной точке, образуют восемь сферических треугольников. Сферический треугольник, все стороны которого меньше половины большого круга, называется эйлеровым.

Свойства сферического треугольника

1. Помимо трёх признаков равенства плоских треугольников, для сферических треугольников верен ещё один: два сферических треугольника равны, если их соответствующие углы равны.

2. Для сторон сферического треугольника выполняются 3 неравенства треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других сторон и больше их разности.

3. Сумма всех сторон a + b + c всегда меньше 2πR.

4. Величина 2πR − (a + b + c) называется сферическим дефектом

5. Сумма углов сферического треугольника s = α + β + γ всегда меньше 3π и больше π

6. Величина называется сферическим избытком или сферическим эксцессом

7. Площадь сферического треугольника определяется по формуле . В отличие от плоского треугольника, у сферического треугольника может быть два, и даже три угла по 90° каждый.

Страница из «Собрания правил науки астрономии», XI в., автор неизвестен

Применение сферического треугольника в Астрономии

В астрономии сферическая теорема косинусов позволяет переходить из одной системы координат на небесной сфере в другую. Чаще всего используются три такие системы: у одной экватором служит небесный экватор, а полюсами – полюсы мира, вокруг которых происходит видимое суточное вращение светил; у другой экватором является эклиптика – круг, по которому в течение года совершается видимое движение Солнца на фоне звезд; у третьей роль экватора выполняет горизонт, а роль полюсов – зенит и надир. В частности, благодаря сферической теореме косинусов можно вычислять высоту Солнца над горизонтом в разные моменты времени и в разные дни в году.

Теорема косинусов для сторон:

Теорема косинусов для углов:

Применение сферического треугольника в географии

Сферическая теорема косинусов позволяет по координатам двух городов A и B находить расстояние между ними. Кроме того, математикам стран ислама сферическая теорема косинусов помогала в решении другой практической задачи: в городе с данными координатами находить направление на священный город Мекку (всякий правоверный мусульманин должен пять раз день молится в направлении Мекки). При решении этой задачи, считая город B Меккой, требовалось найти угол A того же треугольника.

Рассмотрим пример:

Рассмотрим сферический треугольник ABN, где N – северный полюс (предположим для простоты, что обе точки находятся в северном полушарии).

Рис. Нахождение расстояния между двумя точками на сфере

Тогда, если широта и долгота точки A равны φA и λA, а точки B – φB и λB, то угловые величины сторон треугольника таковы:

AN = π/2 – φA, BN = π/2 – φB,

угол при вершине N равен (λA – λB),

и, по сферической теореме косинусов,

cos AB = cos (π/2 – φA) cos (π/2 – φB) + sin (π/2 – φA) sin (π/2 – φB) cos (λA – λB) = sin φA sin φB + cos φA cos φB cos (λA – λB).

Применение сферического треугольника в архитектуре

Паруса в архитектуре — сферический треугольник, обеспечивающий переход от квадратного в плане подкупольного пространства к окружности купола. Па́рус, пандати́в (от фр. pendentif) — часть свода, элемент купольной конструкции, посредством которого осуществляется переход от прямоугольного основания к купольному перекрытию или его барабану. Парус имеет форму сферического треугольника, вершиной опущенной вниз, и заполняет пр

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать