Переворот в геометрической науке, произведенный Феликсом Кляйном в конце 19 века, часто и справедливо сравнивают с реформой Евклида в античной геометрии. До Евклида был хаос (то есть, "газ") из разрозненных объектов и фактов древней науки. После него возник "кристалл" из тех же атомов (теорем, аксиом и определений), объединенных новыми логическими связями. Аналогично, до Кляйна была россыпь непохожих друг на друга кристаллов, синтезированных в разное время Евклидом, Гауссом, Лобачевским или Риманом. После Кляйна эта россыпь превратилась в упорядоченную коллекцию, где каждый экспонат задан своей группой допустимых преобразований интересующих нас фигур.
20 век колоссально расширил эту коллекцию, введя в арсенал математиков бесконечное семейство новых групп и соответствующих им геометрий. Чтобы не утонуть в новом хаосе " "газе" из групп и однородных пространств, математикам пришлось упорядочить разные способы сравнения групп между собою. Так в 1900-е годы в трудах Исайя Шура возникла теория представлений групп; вскоре она стала важнейшей опорой теоретической физики и новых геометрий (бесконечномерных, или неархимедовых), которые Кляйн не мог вообразить в 1872 году.
Двойной опыт Евклида и Кляйна в перестройке и упрощении высокоразвитой науки заслуживает рассмотрения с позиций обновленной физики. Если в обоих случаях мы имеем дело с фазовым переходом в структуре научной теории, то какова энергетика этого перехода" Можно ли описать его на языке Кляйна-Шура, сопоставив каждой геометрической теории некую группу допустимых преобразований каких-то фундаментальных объектов" Эти проблемы мы намерены обсудить.
Вспомним, что система Евклида охватывала далеко не все факты и объекты греческой геометрии 4 века до н.э. Конические сечения (эллипс, парабола, гипербола) не упомянуты в "Началах" ни единым словом. Конечно, Евклид был недоволен таким положением дел. Известно, что он написал трактат о конических сечениях " но не сумел унифицировать его с логической структурой "Начал", поэтому трактат не сохранился. Вскоре Аполлоний повторил (или превзошел) этот труд Евклида; но его книгу о конических сечениях также не удалось стыковать с "Началами".
Унификация этого разнообразия началась лишь в Новое время - в трудах Декарта, на базе итальянской алгебры 16 века и новой системы числовых координат на плоскости. Этот подход соединил две, казалось бы, независимые ветви математики: геометрию фигур и арифметику чисел. Понятно, что такой синтез вызвал восторг многих поколений молодежи: от Ньютона до Галуа, который сформировался как математик под влиянием учебников Лежандра по аналитической геометрии и алгебраической теории чисел.
Итак, между реформой Евклида и реформой Кляйна геометрия пережила еще один фазовый переход: "координатную революцию" Декарта. В сфере исследований эта революция совершилась за одно поколение " между появлением книги Декарта (1637) и ньютоновским открытием исчисления флюксий и флюент (1667). Напротив " в учебный процесс идеи Декарта проникали долго и мучительно. Не случайно Ньютон изложил свои открытия в "Математических Принципах Натурфилософии" (1687) на сложном, но привычном геометрическом языке " вместо новой и простой, но не обоснованной алгебры степенных рядов, которая вела мысль Ньютона от одного открытия к другому. Лишь сто лет спустя, когда новые вычислительные методы сделались основным аппаратом математики и механики, Адриен Лежандр использовал эту систему в преподавании геометрии будущим учителям и инженерам в Нормальной и Политехнической школах, порожденных Французской революцией.
После этого (в начале 19 века) классическая геометрия оказалась расщеплена на две половины: "евклидову" и "декартову", которые медленно развивались, почти ничем не помогая друг другу. Это особенно заметно в творчестве Карла Гаусса. В юности, идя по пути Декарта, он достиг замечательного успеха: доказал невыполнимость многих построений циркулем и линейкой. Двадцать лет спустя (в 1818 году) Гаусс решил испытать путь Евклида: насколько далеко может завести "тонкая хирургия" принятой системы аксиом геометрии" При этом зрелый Гаусс как будто забыл те алгебраические методы, которые он успешно применял в юности. В итоге долгих интуитивных и логических поисков, не вводя в геометрию или логику новых понятий, Гаусс сумел лишь угадать новую великую истину: неполноту любой богатой системы аксиом и правил вывода, неизбежность ветвления каждой формальной теории по очередному постулату, который не удается ни опровергнуть, ни доказать. Видимо, эта перспектива потрясла Гаусса " и он предпочел умолчать о своих догадках, чтобы не вносить разврат в умы научной молодежи, не делать математику посмешищем для окружающих невежд.
Выход из этого кризиса геометрии был возможен лишь с помощью алгебры " и Феликс Кляйн нашел этот выход, как только новая алгебра (теория групп) достигла необходимой понятийной зрелости в трудах Камилла Жордана. Вспомним, что создавать теорию групп перестановок S(n) начал Огюстен Коши в 1810-е годы. Вскоре юный Эварист Галуа с блеском применил алгебраические свойства групп S(n), доказав неразрешимость уравнений-многочленов степени n>4 в радикалах. Но рання смерть Галуа не позволила ему (в отличие от Ньютона или Гаусса) изложить свои открытия на общепонятном языке. Этот труд был завершел Жо
Одними из наиболее популярных услуг на рынке IT-технологий являются создание и продвижение лендингов. Они способны положительно влиять на деятельность любого бизнес-проекта в интернете. Судя по многочисленным отзывам, заказавшие создание лендингов люди ни разу не пожалели о потраченных деньгах. Они вложили в будущее, которое неразрывно связано с интернетом. Всё больше и больше предпринимателей обращаются к услугам разных агентств, веб-студий, чтобы заказать создание лендинга у профессионалов.