Методы прямоугольников и трапеций

Методы прямоугольников и трапеций. Простейшим методом чис­ленного интегрирования является метод прямоугольников. Он непосред­ственно использует замену определенного интеграла интегральной сум­мой (3.20). В качестве точек ξ _i могут выбираться левые (ξ = x _{i -1} ) или правые (ξ _i = x_i ) границы элементарных отрезков. Обозначая f{x_i ) = y_i , ∆x_i = h_i , получаем следующие формулы метода прямоугольников соот­ветственно для этих двух случаев:

∫ f(x) dx h₁ y₀ + h₂ y₁ + ... + h_n y_n-1 (3.24)

∫ f(x) dx h₁ y₁ + h₂ y₂ + ... + h_n y_n (3.25)

Широко распространенным и более точным является вид формулы пря­моугольников, использующий значения функции в средних точках элемен­тарных отрезков (в полуцелых узлах):

∫ f{x)dx , (3.26)

X_i-1/2 = (x_i-1 + x_i )/2 = x_i-1 + h_i /2, i = 1,2,... ,n.

В дальнейшем под методом прямоугольников будем понимать последний алгоритм (он еще называется методом средних).

В рассмотренных методах прямоугольников используется кусочно пос­тоянная интерполяция: на каждом элементарном отрезке функция f ( x ) приближается функцией, принимающей постоянные значения (констан­той). При этом площадь всей фигуры (криволинейной трапеции) при­ближенно складывается из площадей элементарных прямоугольников. На рис. 3.2 верхняя, средняя и нижняя горизонтальные штриховые линии от­носятся к элементарным прямоугольникам, которые соответствуют форму­лам (3.25), (3.26) и (3.24).

Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т. е. график функ­ции у = f ( x ) представляется в виде ломаной, соединяющей точ­ки ( x_i , y_i ). В этом случае площадь всей фигуры приближенно складывается из площадей элементарных прямолинейных трапеций (рис. 3.2). Площадь каждой такой трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

σ_i = h_i , i=1,2,...,n.

Складывая все эти равенства, получаем фор­мулу трапеций для численного интегрирова­ния:

∫ f{x)dx (3.27)

y (x_i ,y_i )

(x_i-1 ,y_i-1 )

y_i-1 y_i

h_iV

x

x_i-1 x_i-1/2 x_i

Рис. З.2. Вычисление σ_i в ме­тодах

прямоугольников и трапеций

Важным частным случаем рассмотрен­ных формул является их применение при численном интегрировании с постоянным шагом h_i = h = const ( i = 1,2,..., n ). Формулы прямоугольников и трапеций в этом случае принимают соответственно вид

∫ f{x)dx, (3.28)

∫ f{x)dx(+). (3.29)

Погрешность численного интегрирования определя­ется шагом разбиения. Уменьшая этот шаг, можно добиться большей точ­ности. Правда, увеличивать число точек не всегда возможно. Если функция задана в табличном виде, приходится, как правило, ограничиваться дан­ным множеством точек. Повышение точности может быть в этом случае достигнуто за счет повышения степени используемых интерполяционных многочленов. Рассмотрим два таких способа численного интегрирования: использование квадратичной интерполяции (метод Симпсона) и интерпо­лирование с помощью сплайнов.

Метод Симпсона. Разобьем отрезок интегрирования [а, b ] на чет­ное число п равных частей с шагом h . На каж­дом отрезке [х₀ ,х₂ ], [х₂ ,х₄ ],... , [х _{i -1} ,х _{i +1} ], ... , [х _{n -2} , x_n ] подынтегральную функцию f ( x ) заменим интерполяционным многочленом вто­рой степени:

f(x) φ _i (x) = a_i x² +bⁱ x+c_i , x_i-1 x x_i+1 .

Коэффициенты этих квадратных трехчленов мо­гут быть найдены из условий равенства много­члена в точках х_i , соответствующим табличным данным у_i . В качестве φ _i (х) можно принять ин­терполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через точки M_{i -1} (x_{i -1} ,y_{i -1} ), M_i (x_i ,y_i ), M_{i +1} (x_i