В.Ф.Чаплыгин
Анализ результатов приемных экзаменов в университет, опыт работы со школьниками, слушателями подготовительных отделений, студентами-математиками, готовящими себя к педагогической деятельности, дают основания сделать вывод о том, что при решении текстовых задач учащиеся испытывают значительно больше трудностей, чем при решении уравнений и неравенств. Это отчасти объясняется тем, что для решения уравнений, неравенств или их систем можно использовать некоторый набор известных алгоритмов и приемов, так как сама задача уже формализована, математизирована. А для текстовой задачи математическую модель учащийся должен составить самостоятельно. И поэтому эти задачи, в том числе геометрические, о которых пойдет речь, требуют существенно больших логических усилий. Мы коснемся здесь, в основном, задач на вычисление.
Решение более или менее серьезной задачи требует, во-первых, тщательного ее анализа. Учащийся должен ясно осознать, что же ему известно, как связаны между собой данные величины, какие следствия из них можно получить, что необходимо найти в задаче и что требуется для этого знать. Анализ при этом может носить не только однонаправленный характер (от данных величин к искомым или наоборот), но и встречный, когда движение совершается в двух противоположных направлениях.
Трудным моментом является выбор метода, который приведет к решению задачи наикратчайшим путем. Он, как правило, не однозначен и почти каждая задача допускает не одно решение (имеется в виду не результат, а процесс). Рассуждения, используемые для решения, могут быть чисто геометрические или позаимствованные из алгебры или тригонометрии. К сожалению, приходится констатировать слабые знания учащимися простейших утверждений, фактов, формул. Они затрудняются в измерении углов, связанных с окружностью (вписанных, центральных, составленных хордой и касательной, образованных хордами, пересекающимися внутри окружности, или секущими, исходящими из одной точки вне окружности), не знают свойств касательных и секущих, вписанных и описанных многоугольников, теорем синусов и косинусов, связь значений тригонометрических функций с отношениями сторон прямоугольного треугольника. Хорошо известно, что немаловажную роль в решении геометрических задач имеет чертеж. Если он выполнен верно, то поможет в правильном выборе решения, если ошибочен, то может навести на ложный путь. Говоря об этом, мы не призываем к тому, чтобы включать в курс школьной геометрии как можно больше теорем (на все случаи жизни), а предлагаем создавать комплексы задач, сгруппированных по принципу общих идей или методов решения. Решая задачу, следует обращать внимание учащихся на моменты, помогающие правильно выбрать способ решения, прививать вкус к таким задачам, вселять веру в их творческие возможности, развивать логические способности и интуицию.
Приведем примеры задач, которые нам представляются интересными. Первые три задачи используют подобие.
Задача 1. Прямоугольный треугольник АВС с катетами АС=3, ВС=2 вписан в квадрат. Известно, что вершина А совпадает с вершиной квадрата, а вершины В и С лежат на сторонах квадрата, не содержащих точку А. Найти площадь квадрата.
В силу равенства отмеченных углов (рис.1) треугольник ACD подобен треугольнику CBE . Пусть AD=x, тогда DC=. Так как AD2+DC2=AC2, то x2+=9, x2=. Таким образом, площадь квадрата равна .
Задача 2. На сторонах BC и CD квадрата ABCD выбраны соответственно точки E и F так, что и К - точка пересечения отрезков BF и AE. Найти отношение КЕ:АК.
Из подобия треугольников (рис.2) AKB, BKE и ABE следует . Перемножив равенства и , получим .
Эту задачу можно решить с помощью гомотетии или теоремы Фалеса, но, на наш взгляд, предложенное решение предпочтительнее.
Задача 3. Диаметр окружности с центром О лежит на стороне AD четырехугольника ABCD, при этом АО=ОD. Три остальные стороны АВ, ВС и СD касаются этой окружности. Найти AD, если АВ =а и CD=b.
Пусть в треугольнике АВО (рис.3) ВАО= , АВО= , ВОА= и, следовательно, + + = . Так как ВО - биссектриса угла СВА, то СВО= .
Если Р и Q - точки касания, то APO= DQO (они прямоугольные, ОР=ОQ, AO=OD) QDO= PAO= . Сумма углов четырехугольника ABCD равна 2 , поэтому С=2 –2 –2 .
А так как СО - биссектриса, то DCO= –( + )= . Таким образом, треугольники АОВ и DCO подобны и . Отсюда получаем равенства АО· OD=AB· CD=ab АО=OD= и AD=2.
А в следующих двух задачах учащиеся должны вспомнить свойства вписанных и описанных четырехугольников.
Задача 4. На стороне ВС параллелограмма ABCD выбрана такая точка Е, что =2. Известно, что трапеция AECD обладает следующими свойствами:
1) в нее можно вписать окружность;
2) около нее можно описать окружность.
Найти величину угла BAD.
В силу свойств, которыми обладает трапеция AECD (рис.4), она равнобокая (АЕ=CD) и 2АЕ=ЕС+AD.
Пусть ВС=3а, тогда BE=2a, EC=a 2AE=EC+AD=4a CD=АЕ=2a.
Таким образом, BEA - равносторонний ABC=60 BAD=120 .
Далеко не все учащиеся могут доказать, почему трапеция, около которой можно описать окружность, является равнобокой.
Задача 5.Сумм
Одними из наиболее популярных услуг на рынке IT-технологий являются создание и продвижение лендингов. Они способны положительно влиять на деятельность любого бизнес-проекта в интернете. Судя по многочисленным отзывам, заказавшие создание лендингов люди ни разу не пожалели о потраченных деньгах. Они вложили в будущее, которое неразрывно связано с интернетом. Всё больше и больше предпринимателей обращаются к услугам разных агентств, веб-студий, чтобы заказать создание лендинга у профессионалов.