Элементы теории вероятностей 2

Введение.

Если положить ручные механические часы на горизонтальную полку в середине её, то они будут лежать, но стоит их передвинуть к краю полки, то часы упадут. Это закон необходимого явления, вскрываемый в данном случае механикой. Но что произойдёт, когда часы упадут на пол? Останутся ли в целости или распадутся на n изуродованных частей? Обыватель это явление относит к случайности и не видит здесь закономерности.

Лишь в XVII в. в Европе стали рассматривать две закономерности: 1) необходимую и 2) возможную с различной оценкой их возможностей.

Так, например, если из колоды в 36 карт вынуть произвольную карту, например трефовой масти, и вынуть фигуру трефовую (короля, даму, валета) или туза трефового, здравый смысл подсказывает, что первое вероятнее второго, а второе вероятнее третьего. Математики XVII в. Б. Паскаль, П. Ферма (1601-1665), Х. Гюйгенс (1629-1695) и другие быстро разобрались в закономерностях возможных явлений и начали создавать новый предмет математики «Теорию вероятностей», ныне весьма развитый математический раздел.

Вероятностью осуществления события А называется число m/ n, где m – число исходов, благоприятствующих осуществлению А, а n – число всевозможных исходов, когда эти nисходов равновозможны, всевоможны и взаимно исключают друг друга.

Вероятности событий заключены в границах от 0 до 1, т.е.

0 ≤ P ≤ 1.

Достоверным событием называется событие, вероятность которого равна единице; невозможным событием называется событие, вероятность которого равна нулю.

Примеры: 1) Если выпущено лотерейных билетов 20 миллионов, причём имеется 20 выигрышей по 2500 руб., то вероятность выиграть 2500 руб. равна:

P(A) = 20/20 000 000 = 0,000 001,

а вероятность не выиграть 2500 руб.

P(B) = 1-0,000 001=0,999 999.

Два события, сумма вероятностей которых равна единице, называются противоположными событиями. Вероятности выиграть и не выиграть 2500 руб. по сути противоположные события, т.е. P(A) + P(B) = 1.

2) Пусть имеются две кубические игральные кости, каждая грань куба отмечена точками от 1 до 6 очков.

Если играть в две кости, бросаемые на стол, то на верхних гранях двух костей возможны следующие суммы очков:

Сумма очков	2=1+1	3=2+1=1+2	4=2+2=3+1=1+3	5=1+4=4+1=2+3=3+2
Сколько возможностей	1	2	3	4
Сумма очков	12=6+6	11=5+6=6+5	10=5+5=6+4=4+6	9=4+5=5+4=6+3=3+6
Сумма очков	6=1+5=5+1=2+4=4+2=3+3		7=3+4=4+3=5+2=2+5=1+6=6+1
Сколько возможностей	5		6
Сумма очков	8=4+4=3+5=5+3=6+2=2+6
Всевозможных событий n=(1+2+3+4+5)*2+6=36.

Найдём вероятности каждого выпадения суммы очков:

P(2)=P(12)=1/(35+1)=1/36; P(3)=P(11)=2/36=1/18; P(4)=P(10)=3/36=1/12; P(5)=P(9)=4/36=1/9; P(6)=P(8)=5/36; P(7)=6/36=1/6;

Видно, что наивероятнейшее событие при игре в две кости выиграть, если ставку делать на сумму в 7 очков (по отсталому бытующему в жизни – семь самое счастливое число).

При бросании трёх костей наивероятнейшее событие P(11)=26/216=13/108.

Наивероятнейшим событием называется то событие, вероятность которого наибольшая из всевозможных.

Удалось подметить законы сложения и умножения вероятностей осуществлений событий.

Вероятность осуществиться двум или нескольким взаимно исключающим (несовместимым) событиям, безразлично которому из них, равна сумме вероятностей этих составляющих событий.

Вероятность совпадения двух или нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Задачи. 1)Ученик не приготовил 4 билета по математике из 40 билетов; он же не приготовил 5 билетов по физике из 30 билетов. Какова вероятность совпадения того, что ученику достанутся неприготовленные билеты и по математике и по физике?

Если Р(А) – вероятность вынуть неприготовленные билеты по математике; Р(В) – по физике; Р(С) – и по математике и по физике, то

4∙5

Р(С) = Р(А) ∙ Р(В) = ----------- = 1/60.

40∙30

2) Вероятность 20-летнему дожить до 70 лет равна Р(А) ≈ 0,4 и вероятность 40-летнему дожить до 70 лет равна Р(В) ≈ 0,46. Какова вероятность совпадения, что оба доживут до 70 лет (Р(С)) ?

Р(С) = Р(А) ∙ Р(В) = 0,4∙0,46 = 0,18.

Если из m различных данных элементов брать по n этих элементов, где n ≤ m, так, что образовавшиеся множества из n элементов будут различаться между собою хотя бы одним элементом (порядок их следования не принимается во внимание), то каждое из таких образовавшихся множеств называется сочетанием из m данных элементов, взятых по n элементов.

m!

Сⁿ _m = ---------------- .

(m

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать