Основы фрактального исчисления

Основы фрактального исчисления

БалхановВасилийКарлович

Предложенасистемааксиом, определяющиефрактальноеисчисление. Показаноееприменениедляиерархическихструктур. Вкачествефрактальныхразветвленныхструктуррассмотреныдельтырекистримерныеканалы. Введеныфрактальныеинтегралыидифференциалы, вычисленыихзначениядляэлементарныхфункций. Рассмотреныпростейшиефрактальныеуравнения.

Введение во фрактальное исчисление. Фрактальная геометрия, созданная Бенуа Б. Мандельбротом 30 лет назад, основывается на экспериментальном факте, что в общем случае длина L произвольной кривой (которая может быть изломана в любой точке) степенным образом зависит от масштаба измерения d [1,2,3]:

L = C×d^{1- D} . (1)

Здесь С - размерный множитель, свой для каждой кривой, D - фрактальная размерность; наглядный пример - длинноногому дорога будет казаться короче. Для обычных, гладких линий D = 1 и получаем "истинную" длину. Если кривая плотно заполняет всю плоскость (простой пример - броуновская траектория), то для нее D = 2. Формулу легко проверить, нарисовав синусоподобную линию и, меняя раствор циркуля, измерить длину такой линии. Довольно очевидно, что как вся линия, так и любой ее участок обладают одной и той же фрактальной размерностью. Такое свойство называется самоподобием (скейлинг, масштабная инвариантность). Самоподобие означает, что как вся линия, так и любой ее участок обладают одной и той же фрактальной размерностью. Если линию увеличить в l раз, то для измерения новой длины lL достаточно использовать масштаб, равный ld , т.е.

lL = C×( ld ) ^{1- D} . (2)

Формулы Мандельброта и условие самоподобия в форме (2) достаточно взять в виде аксиом фрактального исчисления, тогда чисто логическим путем можно получить практически все, известные на последнее время, результаты [4].

Альтернативная формулировка. При решении различных задач бывает полезным дать другую формулировку исходных аксиом. Во первых, длину измеряют, подсчитывая число масштабов, т.е. L = N ( d )×d , где N (d ) - необходимое число шагов (растворов циркуля), с которым масштаб обходит всю линию, при этом из (1) следует, что N ( d ) = C×d^{- D} . В новом масштабе, равном

d^* = ×ld, (3)

длина будет L^* = C×d^{* 1- D} . Подставляя (3) в выражение для L^* , получаем

L^* = C×l^{1- D} ×d ^{1- D} . Но здесь C×d ^{1- D} есть исходная длина, равная N ( d )×d, следовательно

L^* = l^1-D × N ( d )×d . (4)

С другой стороны, L^* = N (d^* )×d^* , или L^* = N ( l×d ) ×l×d . Сравнивая последний результат с (4), приходим к замечательному результату:

N ( l×d ) = l^-D × N ( d ). (5)

В таком виде обычно и записывают условие самоподобия, подразумевая под N любую функцию от своих аргументов с отличным от D показателем. Во вторых, в формуле (3) l и d входят равным образом, т.е. переобозначение ld не меняет общего вида самой формулы. Можно считать l масштабом, а d - масштабным множителем. Это легко понять - чтобы измерить шестиметровую длину, нужно двухметровый эталон приложить три раза, а можно трехметровый эталон приложить всего два раза. Вместо предложенных постулатов в основу теории фракталов можно положить симметрию переобозначения l и d и условие самоподобия в форме (5). Такая формулировка может оказаться наиболее пригодной в некоторых приложениях. Покажем это на примере иерархических структур, которые строятся по заранее определенным правилам.

Иерархические структуры. Пусть у нас имеется некоторый единичный отрезок. Если взять этот отрезок за масштаб, то последний уложится только один раз, т.е. N (d ) = 1. Далее строим триадную кривую Коха. Для этого отрезок разбиваем на три равные части и на месте среднего из них строим "шляпу". Тогда масштаб будет

d / 3, и его надо будет приложить четыре раза, чтобы обойти новую длину, т.е.

N (d /3) = 4. Сравнивая последнее соотношение с 4N (d ) = 4, заключаем, что 4N (d ) =

N (d /3). Это функциональное уравнение, и его решением будет степенная функция:

N ( d ) = C×d^{- D} , где D = Ln 4/Ln 3, - искомая фрактальная размерность кривой Коха. В качестве следующего примера рассмотрим геометрический ряд:. Расстояние между соседними членами ряда будет, или, при

N>> 1: d~ 1/ N ² . Откуда N~d^{-1/ 2} , сравнивая с N~d^{- D} , находим фрактальную размерность геометрического ряда: D = 1/2. Подобным образом можно рассматривать практически все иерархические структуры.

Разветвленные структуры. Важным примером применения фрактального исчисления является рассмотрение фрактальных разветвленных структур, к которым относятся дельты рек Селенги и Волги, стримерные каналы, образующиеся при коронном разряде в диэлектрических подложках, к последним относятся и молнии в атмосфере Земли. Для построения разветвленных структур возьмем фрактальную линию и разрежем ее на множество неравномерных отрезков. Разбросав эти отрезки по плоскости, мы получим пример разветвленной структуры. Наши