Геометрические свойства равнобедренных треугольников
В. В. Богун
Предлагаемая статья, как следует из названия, посвящена изучению свойств равнобедренных треугольников, а также установлению взаимосвязей между данными треугольниками. Необходимость исследований назрела, в первую очередь, из-за частого применения в архитектуре равнобедренных треугольников как геометрических моделей отдельных фрагментов зданий и сооружений, а во-вторых, пополнения базы знаний в области элементарной геометрии.
Где же могут найти применение данные теоретические исследования? Прежде всего в педагогике как таковой, поскольку они существенно расширят кругозор школьников и студентов, изучающих элементарную геометрию, а также тригонометрию, поскольку работа находится на стыке двух разделов математики - элементарной геометрии и тригонометрии, причем их важность абсолютно равнозначна.
Существенными плюсами данных исследований являются следующие факты:
Возможность выхода на теорию стереометрической взаимосвязи между геометрическими фигурами, в частности, правильных четырехугольных пирамид;
Объяснение с помощью свойств равнобедренных треугольников и построенных на их основе правильных четырехугольных пирамид геометрических взаимосвязей между пирамидами Гизы в Египте (Хеопса, Хефрена и Микерина);
Последний факт должен вызвать особый интерес читательской аудитории к исследованиям, поскольку в отличие от всей геометрии в целом, представленной в популярных учебниках в большинстве случаев лишь в виде "голой" теории, мы имеем сочетание теоретических и практических аспектов.
Для простоты изложения материала внесем ряд определений:
Основная высота - высота равнобедренного треугольника, опущенная из вершины, являющейся точкой пересечения равных боковых сторон, на основание и соответственно пересекающей последнее в его середине.
Полуподобные равнобедренные треугольники - равнобедренные треугольники, для которых справедливо равенство углов при основании одного половинным углам между боковыми сторонами другого.
Половинноподобные равнобедренные треугольники - равнобедренные треугольники, равные углы при основании одного являются половинными углами при основании другого.
Теорема 1: Об отношении основной высоты равнобедренного треугольника к радиусу вписанной в него окружности
Отношение основной высоты равнобедренного треугольника к радиусу вписанной в него окружности равно алгебраической сумме единицы и величины, обратной по значению косинусу равных углов при основании.
Исходные данные:
Равнобедренный ∆ АВС (рис. 1); ВD = h основная высота, опущенная из вершины В на основание АС = 2 а; АВ = ВС = b боковые стороны треугольника; DО = КО = LО = r - радиус вписанной в ∆ АВС окружности, ВАС = ВСА = .
Доказать:
(1)
Доказательство:
Формулы для вычисления площади ∆АВС:
S ∆АВС.
S ∆АВС.
Рис. 1. Равнобедренный ∆ АВС с вписанной в него окружностью.
Получим:
(1) |
Следствия из теоремы 1:
1.1.Отношение половины основания равнобедренного треугольника к радиусу вписанной в него окружности равно котангенсу половинного угла при основании:
Так как ,
а
то
. (2)
Однако из курса геометрии известно, что центр вписанной в любой треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис его углов.
1.2. Отношение боковой стороны равнобедренного треугольника к радиусу вписанной в него окружности равно отношению котангенса половинного угла при основании к косинусу полного угла при основании:
(3) |
1.3. В равнобедренном треугольнике отношение разницы между основной высотой и радиусом вписанной окружности к величине последнего равно отношению боковой стороны к половине основания или величине, обратной значению косинуса угла при основании:
. (4)
Теорема 2: Об отношении основной высоты равнобедренного треугольника к радиусу описанной вокруг него окружности
Отношение основной высоты равнобедренного треугольника к радиусу описанной вокруг него окружности равно удвоенному произведению квадрата синуса угла при основании или разнице единицы и косинуса двойного угла при основании:
Рис. 2. Равнобедренный ∆ АВС с описанной вокруг него окружностью.
Исходные данные:
Равнобедренный ∆АВС (рис. 2); ВD = h - основная высота, опущенная из вершины В на основание АС = 2 а; АВ = ВС = b - боковые стороны треугольника; АQ = BQ = CQ = R - радиус описанной вокруг ∆АВС окружности, ВАС = ВСА = .
Доказать:
(5)
Доказательство:
Формулы для вычисления площади ∆АВС:
S ∆АВС =
S ∆АВС =
Получим:
(5) |
Следствия из теоремы 2:
2.1. Отношение половины стороны основания равнобедренного треугольника к радиусу описанной вокруг него окружности равно синусу двойного угла при основании:
Так как
,
то
(6)
Поскольку
,
то
2.2. Отношение боковой стороны к радиусу описанной окружности равно двум синусам углам при основании:
(7) |