Алгебра висловлень

Реферат на тему:

Алгебра висловлень

Носієм алгебри висловлень є множина так званих простих висловлень.

Просте (елементарне ) висловлення (висловлювання ) - це просте твердження, тобто розповідне речення, щодо змісту якого доречно ставити питання про його правильність або неправильність.

Прості висловлення, в яких виражено правильну думку, називатимемо істинними , а ті, що виражають неправильну, - хибними .

Поняття простого (елементарного) висловлення, поняття істинності і хибності належать до первинних невизначальних понять математики, тобто вони не можуть бути означені через інші більш прості терміни та об’єкти, а пояснюються на прикладах, апелюючи до нашої уяви та інтуїції. До таких понять в математиці належать поняття «число», «пряма», «точка», «площина» тощо.

Наведемо декілька прикладів елементарних висловлень:

1) Київ - столиця України.

2) Число 7 є простим.

3) Число 10 більше від числа 3.

4) Усі натуральні числа є простими.

5) Множина всіх простих чисел є скінченною.

Перші три висловлення є істинними, а два останніх - хибними.

У той же час речення «Хай живе математична логіка!» або «Уважно прочитайте весь цей розділ» не є висловленнями.

Розглядаючи висловлення, виходитимо з двох основних припущень:

1) кожне висловлення є або істинним, або хибним (закон виключення третього );

2) жодне висловлення не є одночасно істинним і хибним (закон виключення суперечності ).

Приймаючи ці припущення, ми стаємо на точку зору класичної (традиційної) двозначної логіки. У ХХ столітті виникли і продовжують досліджуватись так звані некласичні логіки: багатозначна логіка, інтуїціоністська (конструктивна) логіка, модальна логіка. У подальшому ми додержуватимемося принципів класичної логіки, в рамках якої проводитимуться всі математичні міркування.

Позначатимемо елементарні висловлення малими латинськими літерами: a ,b ,c ,... (можливо, з індексами), а значення висловлень «Iстинно» і «Хибно» - відповідно символами 1 і 0 або I і Х.

Крім того, розглядатимемо так звані змінні висловлення , які позначатимемо латинськими літерами x ,y ,z ,... (можливо, з індексами) і називатимемо також пропозиційними змінними . Після підстановки замість пропозиційної змінної певного елементарного висловлення ця змінна набуде відповідного значення: 0 або 1.

Сигнатура алгебри висловлень традиційно складається з таких операції: заперечення , кон’юнкція , диз’юнкція та імплікація .

У таблиці 1 наведені різні назви та позначення, які використовують для зазначених операцій.

Таблиця1

Назва	Позначення
Кон’юнкція Логічне множення Логічне «І»	Ù&×
Диз’юнкція Логічне додавання Логічне «АБО»	Ú
Заперечення Логічне «НІ»	Ø-¢
Імплікація Логічне слідування	®É

Використовуватимемо перші з наведених назв та позначень. Нижче подано таблицю 2, що містить означення цих операцій.

Таблиця 2

Ù	0	1	Ú	0	1	Ø	0	1	®	0	1
0	0	0	0	0	1	1	0	0	1	1
1	0	1	1	1	1	1	0	1

Застосовуючи до елементарних висловлень і пропозиційних змінних означені операції, діставатимемо складені висловлення , яким відповідатимуть так звані формули або вирази алгебри висловлень. Для запису цих формул, дослідження їхніх властивостей і співвідношень між формулами та висловленнями використовують формальні мови, тобто певні множини слів у деякому алфавіті.

Алфавіт найбільш поширеної формальної мови алгебри висловлень складається з трьох груп символів:

1) символи елементарних висловлень та пропозиційних змінних: a ,b ,c ,... і x ,y ,z ,... (можливо з індексами);

2) символи операцій: Ù,Ú,Ø,® ;

3) допоміжні символи - круглі дужки: ( і ).

З пропозиційних змінних і елементарних висловлень за допомогою операцій і дужок будуються пропозиційні формули або просто формули алгебри висловлень за такими індуктивними правилами:

1) всі пропозиційні змінні та елементарні висловлення є формулами;

2) якщо A і B - формули, то вирази (A ÙB ), (A ÚB ), (ØA ), (A ®B ) також є формулами;