Пределы

Предел.

Число А наз-ся пределом последоват-ти X_n если для любого числа Е>0, сколь угодно малого, $ N₀ , такое что при всех n>N₀ будет выполн-ся нер-во |X_n -A|<E. lim_{n ® ¥} X_n =A. –E<Xn-A<E => A-E<Xn<A+E.

Число А явл-ся пределом послед-ти Xn, если для любой Е-окрестности (.)А сущ-ет конкретное число N₀ , для кот. любые точки >N₀ попадают в Е-окрестность (.)А.

Св-ва послед-ти, имеющей предел:

1.если послед-ть имеет предел, то он единственный.

Док-во:предп, что пределы различны: lim Xn=a, lim Xn=b (n®¥), тогда |a-b|=|a-Xn+Xn-b|. Из lim Xn=a (n®¥) => " E/2 $ N₁ "n>N₁ |a-Xn|<E/2 Из lim Xn=b (n®¥) => " E/2 $ N₂ "n>N₂ |Xn-и|<E/2 N₀ =max(N₁ ;N₂ ), n>N₀ . |a-b|=|a-Xn+Xn-b|£|a-Xn|+|Xn-b|<E/2+E/2=E => |a-b|=0 => a=b.

2.теорема о сжатой переменной. n>N₁ Xn³Zn³Yn $ limXn = lim Yn = a (n®¥) => $ lim Zn=a (n®¥)

Док-во:1. из того, что $ lim Xn=a (n®¥) => n>N₂ |Xn-a|<E, a-E<Xn<a+E. 2. Из $ lim Yn=a (n®¥) => n>N₃ , a-E<Yn<a+E. 3. N₀ =max(N₁ ,N₂ ,N₃ ). При всех n>N₀ Xn³Zn³Yn. a+E>Xn³Zn³Yn>a-E => lim Zn=a (n®¥)

Функция y=f(x) наз-ся ограниченной в данной обл-ти изменения аргумента Х, если сущ-ет положит число М такое, что для всех значений Х, принадлежащих рассматриваемой обл-ти, будет выполн-ся нер-во |f(x)|£M. Если же такого числа М не сущ-ет, то f(x) наз-ся неограниченной в данной обл-ти.

Бесконечно малая величина.

Величина Xn наз-ся бесконечно малой при n®¥, если lim Xn = 0 (n®¥). "E>0, N₀ , n>N₀ , |Xn|<E.

Свойства б.м. величин :

1.Сумма б.м. величин есть величина б.м.

Док-во:из Xn – б.м. => " E/2 $N₁ , n>N₁ |Xn|<E/2

из Yn–б.м.=>" E/2 $N₂ , n>N₂ |Yn|<E/2, N₀ =max(N₁ ,N₂ ), N>N₀ ,|Xn±Yn|£|Xn|+|Yn|<E/2+E/2=E=>lim(Xn±Yn)=0 (n®¥). Теорема справедлива для любого конечного числа б.м. слагаемых.

2.Произведение ограниченной величины на б.м. величину есть величина б.м.

Док-во:Xn – огр. величина => $ K, |Xn| £ K,

Yn – б.м. => " E/K $N₀ n>N₀ |Yn|<E/K.

|Xn*Yn|=|Xn||Yn|<K*E/K=E

3.Достаточный признак существования предела переменной величины: если переменная величина Xn имеет конечный предел А, то эту переменную величину можно представить в виде суммы этого числа А и б.м. величины. $ lim Xn=a (n®¥) => Xn=a+Yn, Yn – б.м.

Док-во:Из lim Xn=a (n®¥) => "E $N₀ n>N₀ |Xn-a|<E

Xn-a=Yn – б.м. => Xn=a+Yn. Справедливо и обратное: если переменную величину можно представить в виде суммы Xn=a+Yn (Yn – б.м.), то lim Xn=a (n®¥).

Бесконечно большая величина

Xn – бесконечно большая n®¥, если "M>0 $N₀ , n>N₀ , |Xn|>M => M<Xn<-M. lim Xn=¥ (n®¥).

Свойства б.б. величин:

1.Произведение б.б. величин есть величина б.б.

из Xn – б.б. =>"M $N₁ , n>N₁ |Xn|>M

из Yn – б.б. => "M $ N₂ , n>N₂ |Yn|>M

N₀ =max(N₁ , N₂ ) => |Xn*Yn|=|Xn||Yn|>MM=M² >M

Lim XnYn=¥ (n®¥).

2.Обратная величина б.м. есть б.б. Обратная величина б.б. есть б.м. lim Xn=¥ (n®¥) – б.б. Yn=1/Xn – б.м. Из lim Xn=¥ => M=1/E $N₀ , n>N₀ |Xn|>M =>n>N₀ .

|Yn|=1/|Xn|<1/M=E =>Yn – б.м. => lim Yn=0 (n®¥).

3.Сумма б.б величины и ограниченной есть б.б. величина.

Основные теоремы о пределах:

1. lim Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn±Yn)=a±b (n®¥)

Док-во:lim Xn=a => Xn=a+a_n ; lim Yn=b => Yn=b+b_n ;

Xn ± Yn = (a + a_n ) ± (b + b_n ) = (a ± b) + (a_n ± b_n ) => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥).

2. limXnYn = lim Xn * lim Yn (n®¥).

3. lim Xn=a, lim Yn=b (n®¥) => lim Xn/Yn =
(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.

Док-во:Xn/Yn – a/b = (a+a_n )/(b+b_n ) – a/b = (ab+a_n b–ab–ab_n )/b(b+b_n ) =(ba_n -ab_n )/b(b+b_n )=g_n => Xn/Yn=a/b+g_n => $ lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n®¥).

Пределы ф-ии непрерывного аргумента.

Число А наз-ся пределом ф-ии y=f(x) при х®x₀ , если для любого Е>0 сколь угодно малого сущ-ет такое число d>0, что при "x будет выпол

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать