Некоторые приложения финансовой математики

Некоторые приложения финансовой математики.

Конверсия валюты и начисление процентов.

Рассмотрим совмещение конверсии (обмена) валюты и наращения простых процентов, сравним результаты от непосредственного размещения имеющихся денежных средств в депозиты или после предварительного обмена на другую валюту. При этом возможны 4 варианта наращения процентов:

1. Без конверсии, когда валютные средства размещаются в качестве валютного депозита, наращение первоначальной суммы производится по валютной ставке путём прямого применения формулы простых процентов.
2. С конверсией, при это валютные средства конвертируются в тенге, наращение идёт по ставке в тенге, в конце операции сумма в тенге конвертируется обратно в исходную валюту.
3. Без конверсии, в этом случае сумма в тенге размещается в виде депозита в тенге, на который начисляются проценты по ставке в тенге по формуле простых процентов.
4. С конверсией, когда сумма в тенге конвертируется в какую – либо конкретную валюту и инвестируется в валютный депозит. Проценты начисляются по валютной ставке. Наращенная сумма в конце операции вновь конвертируется в тенге.

Операции без конверсии не представляют сложности. В операции наращения с двойной конверсией имеются два источника дохода: начисление процента и изменение обменного курса. Причём начисление процента является безусловным источником (ставка фиксирована, инфляцию не рассматриваем). Изменение обменного курса может, как быть источником дополнительного дохода, так и приводить к потерям. Остановимся на двух вариантах, предусматривающих двойную конверсию (варианты 2 и 4).

Введём обозначения:

P_v - сумма депозита в валюте,

P_r - сумма депозита в тенге,

S_v – наращенная сумма в валюте,

S_r – наращенная сумма в тенге,

K₀ – курс обмена в начале операции,

K₁ – курс обмена в конце операции,

n – срок депозита,

i – ставка наращения для тенговых сумм(в виде десятичной дроби),

j - ставка наращения для конкретной валюты.

Рассмотрим варианты:

ВАЛЮТА –> ТЕНГЕ –> ТЕНГЕ –> ВАЛЮТА.

Операция состоит из трёх этапов: обмена валюты на тенге, наращение суммы в тенге, обратное конвертирование суммы в тенге в исходную валюту. Наращенная сумма, получаемая в конце операции в валюте, составит

S_v =P_v K₀ (1+ni)/K₁

Как видим, три этапа операции нашли своё отражение в этой формуле в виде трёх сомножителей.

Множитель наращения с учётом двойного конвертирования

Где k=K₁ /K₀ – темп роста обменного курса за срок операции. Из данной формулы следует, что множитель наращения m связан линейной зависимостью со ставкой i и обратной – с обменным курсом в конце операции K₁ (или с темпом роста обменного курса k).

Исследуем зависимость общей доходности операции с двойной конверсией от соотношения конечного и начального курсов обмена k.

Простая годовая ставка процентов, характеризующая доходность операции,

Подставляя в эту формулу выражение для S_v , получаем:

Из этой формулы следует, что с увеличением k доходность i_э падает. При k=1 доходность операции равна ставке в тенге, т.е. i_э =i. Величина i_э < i при k > 1 и i_э > iпри k < 1. При некотором критическом значении k, которое обозначим как k^* , доходность операции равна нулю. Из равенства i_э =0 находим:

k^* =1+ni,

что означает

K^* ₁ =K₀ (1+ni).

Таким образом, если ожидаемые величины k и K^* ₁ превышают свои критические значения, то операция убыточна (i_э < 0).

Определим максимально допустимое значение курса обмена в конце операции K₁ , при котором эффективность будет равна существующей ставке по депозитам в валюте, и применение двойного конвертирования не даёт никакой дополнительной выгоды. Для этого приравняем множители наращения для двух альтернативных операций

1+nj=(1+ni)K₀ /K₁

Из полученного равенства следует, что

max K₁ =K₀ (1+ni)/(1+nj)

или

max k=K₁ /K₀ =(1+ni)/(1+nj).

Таким образом, депозит валюты через конверсию в тенге выгоднее валютного депозита, если обменный курс в конце операции ожидается меньше max K₁ .

Рассмотрим вариант:

ТЕНГЕ –> ВАЛЮТА –> ВАЛЮТА –> ТЕНГЕ.

Это операция с двойной конверсией, когда исходная и конечная суммы в тенге. В этом случае трём этапам операции соответствуют три сомножителя для наращенной суммы:

Проведем анализ эффективности этой операции и определим критические точки.

Доходность операции в целом определяется по формуле

Отсюда, подставив выражение для S_r , получим

Зависимость показателя эффективности i_э от k линейная, i_э =j при k=1, i_э >j при k>1, i_э <j при k<1.

Найдём критическое значение k*, при которых i_э =0:

k*=1/(1+nj) или K*₁ =K₀ /(1+nj).

Таким образом, если ожидаемые величины k или

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать