Численные методы 6

ЛЕКЦИЯ №9

МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА

1. Определение и свойства

2. Интерполяция по Чебышевским узлам

3. Многочлены равномерных приближений

4. Экономизация степенных рядов

Многочленом Чебышева n-ой степени называется функция

T_n (x)=cos (narccos) n=0,1,2 …,xÎ[-1;1] ; (9.1)

Докажем, что при любом n=0,1,2

n=0: T₀ (x)=cos0=1;

n=1: T₁ (x)=cos(arccos x)=x;

n=2: T₂ (x) =cos(2arccos x);

Обозначимα=arccosx

T_n (x)=cos2α ;

T_n+1 (x)=cos((n+1)α) ;

T_n-1 (x)=cos((n-1)α) ;

cos((n+1)α)+ cos((n-1)α)-2cos(2nα/ α)cos(2α/ α)=2 cosnα cosα;

T_n+1 (x)+ T_n-1 (x)=2 T₁ (x) T_n (x);

T_n+1 (x)= 2xT_n (x)- T_n-1 (x); (9.2)

Свойства многочлена Чебышева:

1. Все функции T_n (x) являются многочленами при n=0,1,2,…

2. Степени этих многочленов возрастают с увеличением n, причем старший член T_n (x)=2^{n -1} x_n

3. Многочлены T_n (x) при четных n выражаются через четные функции , при нечетных n-через нечетные функции.

Проверим:

T₂ (x) =2х² -1

T₃ (x) =2х (2х² -1) =4х³ -2х

T₄ (x) = 2х (4х³ -3х)-2х² +1=2³ х⁴ -3х² +1

4. На отрезке [-1;1] многочлен T_n (x) имеет ровно n различных действительных корней, которые рассчитываются по формуле:

Докажем:

Так как arccosxÎ[0; Π];k=0,1,…n-1,чтобы туда попадал arcos

5. Корни многочлена Чебышева перемножаются, чередуются с точками их экстремума, причем максимум

T_n (x) на [-1;1] равен 1,т.е

Для точек экстремума существует связь:

Введем нормированный многочлена Чебышева (старший коэффициент =1, перед х в максимальной степени)

(9.3)

Теорема Чебышева

Из всех многочленов степени n со старшим коэффициентом = 1, нормированный многочлен Чебышева отклоняется от нуля на отрезке [-1;1] , т.е не существует многочлена Р_n *(x), что :

max | Р_n *(x)| < max | T^_n (x)|

[-1;1][-1;1] Доказательство не нужно.

Интерполяция по Чебышевским узлам

Задача: Пусть есть некоторая функция f(x), определенная на отрезке [a;b]. Как расположить на отрезке [a;b] n+1 узел интерполяции таким образом, чтобы минимизировать максимальное отклонение интерполяционного полинома Лагранжа от f(x), т.е ошибку аппроксимации.

Остаточный член полинома Лагранжа

Необходимо минимизировать этот максимум, т.е необходимо найти такие узлы x_k , которые минимизировали бы

Сведем [a;b] к отрезку [-1;1]

Должна существовать связь хÎ[a;b] с tÎ[-1;1]

Связь: x= Ct+D

C-коэффициент сжатия (растяжения, D-параллельный перенос)

Если t=1

Если t=-1

Тогда:

(9.4)

Для того чтобы минимизировать (9.4), необходимо найти такие корни

t_k Î[-1;1], , при котором Π_{n +1} (t) будет минимальным.

По теореме Чебышева полином Т_{n +1} нормирован многочленом Чебышева, наименее отклонен от нуля на [-1;1], поэтому в качестве искомых корней необходимо взять корни многочлена Чебышева на [-1;1]

(рассмотрим полином n+1-ой степени)

(9.5)

Узлы интерполяции, определим по формуле (9.5) обеспечивают min, max ошибку аппроксимации при помощи интерполяционных полиномов.

Многочлены равномерных приближений

Если функция f(x) ∞-но дифференцируема на [a;b] и в качестве узлов интерполяции берутся корни многочленов Чебышева, приведенные к [a;b], то справедливо:

Т.е имеет место равномерная сходимость последовательности интерполяционного полинома Лагранжа функции f(x).

Теорема Вейерштрасса : для любой непрерывной функции f(x) на [a;b] найдется полином Q_n (x), что |f(x)- Р_n (x)| < ξ для любой ξ>0 , любое хÎ[a;b].

Т.е для любой f(x) непрерывной на [a;b],может быть построена аппроксимирующий наилучший полином, который минимизирует максимальное отклонение между f(x) и Q_n (x). Такие полиномы называютмногочленами наилучших равномерных приближений.

К сожалению, общий вид таких полиномов и способы построения не известны.

Экономизация степенных рядов

Ряд Тейлора представляет собой локальную аппроксимацию для f(x) степенной функции вида xⁿ можно заменить многочлен Чебышева и получить разложение по этим многочленам вместо степенного ряда:

Такой процесс называется экономизацией степенного ряда.

Разложение по многочленам Чебышева имеет меньшую максимальную погрешность.

ЛЕКЦИЯ №10,11

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ СПЛАЙНЫ

Когда интерполяционный отрезок [a;b] велик, нет, основания считать, функцию f(x) достаточно гладкой, на [a;b], то нельзя повышать точность аппроксимации за счет увеличения степени интерполяционного многочлена

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать