Лінійна однорідна система з постійними коефіцієнтами Застосування теорії диференціальних рівнян

Пошукова робота на тему:

Лінійна однорідна система з постійними коефіцієнтами. Застосування теорії диференціальних рівнянь в економіці. Поняття про різницеві методи. Модель ділового циклу Самуельсона-Хікса.

П лан

• Лінійна однорідна система диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами
• Лінійна неоднорідна система диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами
• Застосування теорії диференціальних рівнянь в економіці
• Модель природного випуску продукції
• Ріст випуску продукції в умовах конкуренції
• Динамічна модель Кейнса
• Неокласична модель росту
• Поняття про різницеві методи. Модель ділового циклу Самуельсона-Хікса

12.11. Лінійна однорідна система диференціальних

рівнянь першого порядку із сталими коефіцієнтами

Лінійна система диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами має такий вигляд:

(12.59)

Така система називається неоднорідною системою . Відповідна їй однорідна система лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами має вигляд

(12.60)

Для запису нормальної системи диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами зручно користуватися матричними позначеннями.

Позначимо ,

.

Тоді

,

і система (12.59) в матричних позначеннях набуває форми

(12.61)

Відповідна їй однорідна система має вигляд

(12.62)

Користуючись методом виключення, переходимо від системи рівнянь першого порядку до одного диференціального рівняння вищого порядку. Виявляється, що лінійне рівняння -го порядку завжди можна звести до системи рівнянь першого порядку. Нехай наприклад , диференціальне рівняння -го порядку дано у вигляді

. (12.63)

Введемо такі позначення:

.

Тоді з рівняння (12.103) випливає, що

.

Рівняння (12.103) можна подати у вигляді

,

де , , - матриця розміру виду

Приклад . Записати диференціальне рівняння

у вигляді системи.

Введемо позначення: , , .

Тоді в силу умови маємо: . Рівняння зводиться до системи вигляду

Розглянемо однорідну систему диференціальних рівнянь (12.60), де коефіцієнти - сталі числа. Систему (12.60) можна звести до диференціального рівняння -го порядку з сталими коефіцієнтами. Але це робити не обов’язково. Є загальний метод розв’язування системи (12.60), який дозволяє наочніше досліджувати її розв’язки .

Ейлер запропонував шукати розв’язок системи (12.60) у вигляді

(12.64)

де - поки що невідомі сталі. Підставляючи в систему (12.60) рівності (12.64) та їх похідні й скоротивши на отримаємо

(12.65)

Зауважимо, що (12.65) - однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь відносно

Головний визначник системи

.

З лінійної алгебри відомо, що у випадку, коли , система (12.65) має лише єдиний тривіальний (тобто нульовий) розв’язок.

Нетривіальні (ненульові) розв’язки існують лише тоді, коли .

Прирівняємо до нуля :

(12.66)

Рівняння (12.66) називається характеристичним рівнянням системи (12.60), а його корені - коренями характеристичного рівняння.

Можливі такі випадки.

1. Корені характеристичного рівняння - дійсні й різні числа. Позначимо їх через . Для кожного кореня запишемо систему (12.65) і розв’яжемо її (можна довести, що одне з чисел можна вибрати довільним відмінним від нуля , а інші будуть через нього однозначно виражені).

Отже кореню відповідають розв’язки

кореню - розв’язки

кореню - розв’язки

Тоді загальний розв’язок системи рівнянь (12.60) записується як лінійна комбінація (за стовпчиками) знайдених розв’язків:

;

За допомогою матричних позначень розв’язок системи подають у вигляді

=

або

(12.67)

де

називається фундаментальною матрицею системи (12.60).

Фундаментальна матриця задовольняє матричне рівняння Це випливає із рівняння (12.62) та правил множення матриць.

Приклад 5 . Розв’язати систему

Р о з в ‘ я з о к. Складемо характеристичне рівняння (12.66)

або

Розв’язки цього рівняння Система (12.65) при

Друге рівняння цієї системи є наслідком першого . Покладемо, наприклад, Тоді маємо Тому

Система (12.65) у разі, коли набуває вигляду

Ця система зводиться до одного рівняння. Поклавши, наприклад, дістанемо Запишемо розв’язки, що відповідають другому кореню

Тоді загальний розв’язок системи має вигляд

2. Корені характеристичного рівняння різні, але серед них є комплексні.

Нехай парі комплексних спряжених коренів відповідають розв’язки

,…,

та

причому коефіцієнти та визначаються із системи рівнянь(12.65). Можна довести , що дійсні й уявні частини цих розв’язків також є розв’язками системи рівнянь. Записавши окремо дійсні й уявні частини даних виразів (в двох рядках), використовуємо їх для запису загального розв’язку с

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать