Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули

Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули

1. Скалярне поле

Нехай – область у тривимірному просторі (або на площині). Кажуть, що в області задано скалярне поле, якщо кожній точці поставлено у відповідність деяке число .

Прикладами скалярних полів є поле температури даного тіла, поле густини даного неоднорідного середовища, поле вологості повітря, поле атмосферного тиску, поле потенціалів заданого електростатичного поля тощо.

Поверхня (лінія), на якій функція набуває одне й те саме значення, називається поверхнею (лінією) рівня скалярного поля (наприклад, поверхні або лінії постійної температури). Надаючи різних постійних значень: , отримаємо сім’ю поверхонь (ліній) рівня даного скалярного поля.

Фізичні скалярні поля не залежать від вибору системи координат: величина є функцією лише точки і, можливо, часу (нестаціонарні поля).

Якщо в просторі ввести прямокутну систему координат , то точка у цій системі координат матиме певні координати і скалярне поле стане функцією цих координат: .

2. Векторне поле

Кажуть, що в області задано векторне поле, якщо кожній точці поставлено у відповідність деякий вектор .

Фізичні приклади векторних полів: електричне поле системи електричних зарядів, яке характеризується в кожній точці вектором напруженості ; магнітне поле, утворене електричним струмом і яке характеризується в кожній точці вектором магнітної індукції ; поле тяжіння, утворене системою мас і яке характеризується в кожній точці вектором сили тяжіння , що діє в цій точці на одиничну масу; поле швидкостей потоку рідини, яке описується в кожній точці вектором швидкості .

Зручною геометричною характеристикою векторногополя є векторні лінії – криві, в кожній точці яких вектор напрямлений по дотичній до кривої. Векторні лінії поля тяжіння, електричного і магнітного полів називається силовими лініями, а поля швидкостей – лініями струму.

Нехай векторна лінія, яка проходить через точку , описується рівнянням , де – параметр. Умова колінеарності вектора поля і дотичного вектора в довільній точці цієї лінії має вигляд

,(1)

де – деяке число. Умову (1) можна записати також у вигляді

(2)

або, помноживши на , у вигляді

.(3)

Кожне із рівнянь (1) – (3) є диференціальним рівнянням векторних ліній у векторній формі і визначає множину векторних ліній. Конкретна векторна лінія, яка проходить через задану точку , визначається додатковою умовою

,(4)

де – радіус-вектор точки .

Фізичні векторні поля не залежать від системи координат: в кожній точці вектор повністю визначається своїм модулем і напрямом. Якщо в просторі введена прямокутна система координат, то векторне поле описується вектор-функцією трьох змінних або трьома скалярними функціями – її координатами:

.

Оскільки в прямокутних координатах, то векторне рівняння (3) для векторних ліній еквівалентне системі диференціальних рівнянь

,(5)

а додаткове векторне рівняння (4) еквівалентне таким умовам:

,(6)

де – координати точки.

3. Похідна за напрямом

Скалярне і векторне поля

і

Називаються диференційованими разів, якщо функції

диференційовані разів. Надалі розглядатимемо поля, диференційовані потрібне нам число разів.

Нехай – скалярне поле, задане в області , – одиничний фіксований вектор; – фіксована точка; – довільна точка із , відмінна від і така, що вектор колінеарний . Нехай, далі, – величина напрямленого відрізка (вона дорівнює його довжині , якщо напрям вектора збігається з напрямом вектора , і дорівнює – , якщо вектори і є протилежними).

Означення. Число називається похідною скалярного поля (функції) в точці за напрямом і позначається символом.

Похідна за напрямом є швидкістю зміни функції за напрямом в точці.

Якщо в прямокутній системі координат , то

.(7)

Зокрема, якщо вектор збігається з одним із ортів або , то похідна за напрямком збігається з відповідною частинною похідною. Наприклад, якщо , то

.

Аналогічно визначається похідна за напрямом векторного поля.

Означення . Вектор називається похідною векторного поля (вектор-функції) в точці за напрямом і позначається символом.

Якщо в прямокутній системі координат , то

.

4. Градієнт скалярного поля

скалярне векторне поле дивергенція

Означення . Градієнтом скалярного поля називається вектор-функція

.

Із рівності (7) випливає, що

,(8)

Звідси , оскільки .

Тут – кут між векторами і в точці. Очевидно, що має найбільше значення при, тобто у напрямі в даній точці. Інакше кажучи, вектор в даній точці вказує напрям найбільшого зростання поля (функції ) у цій точці, а є швидкість зростання функції в цьому напрямі. Таким чином, вектор не залежить від вибору системи координат, а його модуль і напрям у кожній точці визначається самою функцією.

5. Потенціальне поле

Означення. Векторне поле називається потенціальним в області, якщо воно збігається в області з полем градієнта деякого скалярного поля:

.(9)

Функція називається скалярним потенціалом векторного поля. Якщо, то із рівності (9) випливає

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать