Сравнения высших степеней

Вступ

Важливе місце в курсі теорії чисел посідають конгруенції та, зокрема, конгруенції вищих степенів. Але до того як вони почали розглядатися, математики різних країн, протягом століть розглядали невизначені рівняння 1-го степеня.

Невизначені рівняння 1-го степеня почали розглядатися ще індуськими математиками приблизно з V століття. Деякі такі рівняння з двома і трьома невідомими з'явилися в зв'язку з проблемами, що виникли в астрономії, наприклад, при розгляді питань, зв'язаних з визначенням періодичного повторення небесних явищ.

У другому виданні книги французького математика Баше де Мезір’яка “Problemis plaisans et delectables que se font par les nombres”, що вийшли в 1624 р., зважується невизначене рівняння ax+by=c. Баше де Мезір’як фактично застосовує процес, що зводить до послідовного обчислення не повних часток і розгляду придатних дробів; однак він не розглядав неперервних дробів як таких. Популярний твір Баше де Мезір’яка дуже вплинув на розвиток теорії чисел, так як сприяв виникненню інтересу до цієї області математики.

Ланцюгові дроби до рішення таких рівнянь були застосовані Лагранжем, котрий, однак, зауважує, що фактично це той же спосіб, що був даний Баше де Мезір’яком і іншими математиками, що розглядали невизначені рівняння до нього.

Невизначені рівняння 1-го степеня стали записуватися й розв'язуватися у формі порівняння значно пізніше, починаючи з Гауса. Він вперше систематизував теорію та визначив поняття конгруенції, в своїй книзі “Disquisitionesarithmeticae” (“Дослідження з арифметики”).

Задачі, що зводяться до розгляду системи порівнянь 1-го степеня, розглядалися в арифметиці китайського математика Сун Тзу, що жив приблизно на початку нашої ери. У нього як у цілого ряду китайських, індуських, арабських і європейських учених, що вирішували такі задачі після нього, питання ставився в наступній формі: знайти число, що дає задані остачі від ділення на задані числа. Робота Сун Тзу стала відомою в Європі в 1852 р. Незалежно від китайських математиків спосіб рішення задач такого роду був даний індуським математиком Брамегупта (588-660).

Система n порівнянь із n невідомими вивчалася Гаусом. Повне дослідження систем лінійних конгруенцій було подано в роботах Фробеніуса й Стейніца наприкінці XIX століття.

І так конгруенції вищих степенів були покладені в основу модулярного представлення числа, яке широко використовується в сучасній криптографії, що досить актуальна в наш час високих технологій. Велику увагу цьому питанню приділили такі вчені-дослідники як Ріверс, Адельман та Ширман.

1. Конгруенції і класи

Ряд чисел при діленні на одне і те саме число дають одну і ту ж саму остачу. Постає питання про те, як можна використати цю особливість і які властивості вона має. Відповідь на нього – конгруенції.

1.1. Конгруенції та їх основні властивості

Припустимо, що m є натуральне число; розглядатимемо цілі числа в зв'язку з остачами від ділення їх на дане натуральне т, яке називають модулем. Згідно з теоремою про ділення з остачею кожному числу а відповідатиме певна остача r від ділення а на r :

a=mq+r, 0 ≤ r < m.

Якщо двом цілим числам a і bвідповідає одна і та сама остача r від ділення їх на m, то вони називаються конгруентними за модулем m. Це позначається символом:

a≡b(mod m) (1)

і читається: а конгруентне з bза модулем m.

Деякі автори позначають це коротше:

a≡b(m). (1′)

Співвідношення (1) або (1′) між числами називаються порівнянням, або конгруенцією.

Приклади. 48 ≡ 84 (mod 18);

131 ≡ 1 (mod 13);

10 ≡ –1 (mod 11).

Конгруенції мають багато властивостей, подібних до властивостей рівностей.

Властивість 1. Для конгруенцій справджуються три основні закони рівностей: рефлексивності, симетрії і транзитивності, тобто відповідно:

а) a≡a(mod m),

б) з конгруенції a≡b(mod m) випливає, що b≡a(mod m);

в) якщо a≡b(mod m) і b≡c(mod m), то a≡c(mod m).

Властивість 2. Конгруенції за одним і тим же модулем можна почленно додавати (або віднімати).

Висновок 1. Доданок, що стоїть в якій-небудь частині конгруенції, можна переносити в іншу частину, змінивши знак на протилежний.

Висновок 2. Можна додати до обох частин або відняти від обох частин конгруенції одне і те саме число.

Висновок 3. До кожної частини конгруенції можна додати (або відняти від неї) довільне число, кратне модулеві.

Властивість 3. Конгруенції за одним і тим самим модулем можна почленно перемножувати.

Висновок 1. Обидві частини конгруенції можна помножити на одне й те саме ціле число.

Висновок 2. Обидві частини конгруенції можна підносити до одного і того самого цілого невід'ємного степеня, тобто, якщо a≡b(mod m), то aⁿ ≡bⁿ (mod m), де n — ціле ≥0.

Властивість 4. Обидві чистини конгруенції можна поділити на їх спільний дільник, якщо він є взаємно простий з модулем.

Властивість 5. Обидві частини конгруенції і модуль можна помножити на одне і те саме натуральне число.

Властивість 6. Обидві частини конгруенції і модуль можна поділити на будь-якого їх спільного дільника.

Властивість 7. Якщо конгруенція має місце за кількома модулями, то вона матиме місце і за модулем, що дорівню

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать