Формула Шлетца

КОМИТЕТ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ.

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ.

§1. Пространство R(p₁ ,p₂ ).

А₁ - аффинная прямая. Отнесем прямую А₁ к подвижному реперу r ={a,`e}, где аи`eсоответственно точка и вектор.

Деривационные формулы репера r имеют вид:

d a= q`e , d`e= W`e (1),

причем формы Пфаффа q и Wподчиняются уравнениям структуры 1-мерного аффинного пространства :

D q = qÙW , DW=WÙW=0.

Пусть e* - относительная длина вектора e* =`e + d`e + 1/2d² `e + 1/6d<sup>3</sup> `e +... по отношению к вектору `е. Тогда `e*=e*`e. Из (1) получаем :e* =1+W+... Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной длины вектора `e*, близкого к `e , по отношению к `e.

Пусть R(p₁ ,p₂ ) – пространство всех пар (p₁ ,p₂ )точек p₁ ,p₂ прямой А_{1 .} Поместим начало а репера rв середину Qотрезка р₁ р₂ , а конец вектора `е – в точку р<sub>1</sub> ; при этом р<sub>2</sub> совместится с концом вектора -`е.

Условия стационарности точек р₁ и р₂ в таком репере имеют соответственно вид: W+q=0, -W+q=0.

Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р₁ ,р₂ ) являются формы Пфаффа : W+q , -W+q.

Очевидно, что dim R(p₁ ,p₂ ) =2. Заметим ,что в репере rформа 2W является дифференциалом относительной длины отрезка р₁ *р₂ * , близкого к р₁ р₂ ,по отношению к р₁ р₂ .

§ 2. Отображение f.

А₂ – аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R ={p, ` e<sub>j</sub> }. Деривационные формулы репера R и уравнения структуры плоскости А<sub>2</sub> имеют соответственно вид :dp =W<sup>j</sup> e<sub>j</sub> ; d ` e_j =W_j ^k ;

DW^j =W^k ^W_k ^j ; DW^j =W_j ^y ^W_y ^k .

Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение fплоскости А₂ в пространстве R(p₁ ,p₂ ):f:A₂ ® R(p₁ ,p₂ ).

Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется : rang f =2 (1)

Поместим начало Р репера R в точку f^-1 (p₁ ,p₂ ) . Тогда дифференциальные уравнения отображения f запишутся в виде :

Q +W= l _j W^j ; Q-W= m _j W^j (2)

Из (1) вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение f^-1 : R(p₁ ,p₂ ) ® A₂ обратное к f .В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения f^-1 имеют вид :

W^j = l ^j (Q+W)+ m ^j (Q-W) (3)

Из (2) и (3) получаем :

l ^k l _j + m ^k m _j = d _j ^k

l ^j l _j =1

m ^j m _j =1 (*)

l ^j m _j =0

m ^j l _j =0

Указанную пару {r;R } реперов пространств А₁ и А₂ будем называть репером нулевого порядка отображения f .

§3.Фундаментальные геометрические объекты отображения f .

Осуществим продолжение системы (2) дифференциального уравнений отображения f.

D(λ_j W^j -W-Q)=0 ,

получаем :

dλ_j =λ_k W_j ^k +14(λ_j μ_k -λ_k μ_j )W^k +λ_jk W^k

D(μ_j W^j +W-Q)=0

получаем :

dμ_j =μ_k W_j ^k +14(λ_j μ_k -λ_k μ_j )W^k +μ_jk W^k

Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид :

Q+W=λ_j W^j

Q-W=μ_j W^j

dλ_j =λ_k W_j ^k +14(λ_j μ_k

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать