Інтегральні характеристики векторних полів

інтегральні характеристики векторних полів

1. Диференціальні операції другого порядку

Нехай в області задані скалярне поле і векторне поле , причому функції мають в області неперервні частинні похідні другого порядку. Тоді і є диференційовними векторними полями, а – диференційовним скалярним полем.

До векторних полів і можна застосувати операції обчислення дивергенції і ротора, а до скалярного поля – операцію обчислення градієнта. Таким чином, отримуємо повторні операції:

.

Операцію називають оператором Лапласа і позначають також символом :

.

З допомогою оператора Гамільтона оператор Лапласа записується у вигляді

.

Враховуючи, що

,

дістаємо

.

Функція , яка задовольняє в деякій області рівняння Лапласа , називається гармонічною в цій області. Наприклад, лінійна функція є гармонічною в довільній області. Оператор Лапласа широко застосовується в рівняннях математичної фізики. Відзначимо, зокрема, що потенціал електричного поля точкового заряду або поля тяжіння точкової маси, який має вигляд , при задовольняє рівняння Лапласа:

(потенціальне векторне поле є безвихровим) і

(векторне поле є соленоїдальним).

1. Дві інші повторні операції і пов’язані співвідношенням

, (1)

де – вектор-функція, координатами якої є результати застосування оператора Лапласа до функцій .

2. Розкладання векторного поля на суму потенціального і соленоїдального полів

Довільне неперервно диференційовне векторне поле може бути зображено у вигляді

, (2)

де – потенціальне поле, – соленоїдальне поле.

Дійсно, за означенням потенціальне векторне поле є градієнтом деякого скалярного поля : . Тому для вектора із рівності (2) маємо

. (3)

Щоб векторне поле було соленоїдальним, воно має задовольняти умову , звідси, враховуючи рівність (3), знаходимо

.

Таким чином, для скалярного потенціала поля отримуємо рівняння

, (4)

де – відома функція даного поля .

Отже, якщо функція є розв’язком рівняння (4), то, поклавши , , отримаємо зображення поля у вигляді (2), де – потенціальне поле, – соленоїдальне поле.

Рівняння (2) – неоднорідне рівняння в частинних похідних другого порядку, яке називається рівнянням Пуассона:

.

Відзначимо, що це рівняння має (нескінченну) множину розв’язків, тому зображення поля у вигляді (2) не є єдиним.

2. Потік векторного поля

Розглянемо векторне поле , визначене в просторовій області , і деяку кусково-гладку орієнтовну поверхню . Нехай – поле одиничних нормалей на обраній стороні поверхні .

Як було відзначено в п. 4.2, поверхневий інтеграл

(5)

називається потоком векторного поля через поверхню в сторону, яка визначається вектором (кажуть також «потік через обрану сторону поверхні »).

Якщо взяти іншу сторону поверхні (змінити орієнтацію), то вектор змінить напрям на протилежний; тому скалярний добуток , а отже, і потік (поверхневий інтеграл (5)) змінить знак.

Якщо – швидкість рухомої рідини, то є кількістю (об’ємом) рідини, яка протікає через поверхню у напрямі нормалі за одиницю часу. Ця величина називається у фізиці (гідродинаміці) потоком рідини через поверхню . Тому і у випадку довільного векторного поля інтеграл (5) називається потоком векторного поля через поверхню .

Розглянемо електричне поле точкового заряду , який міститься в точці . Знайдемо потік векторного поля через зовнішню сторону сфери радіуса з центром у точці . Нехай ( – точка на сфері ); тоді . Тому

,

де – діелектрична проникність середовища, .

Якщо в системі координат , а , то вираз (5) для потоку векторного поля можна записати у вигляді

. (6)

Кожен доданок у правій частині рівності (6) залежить від вибору системи координат, проте їх сума, тобто потік , очевидно, не залежить від вибору системи координат.

3. Формула Остроградського-Гаусса в векторній формі

Нехай в області визначено векторне поле ; – замкнена поверхня, яка обмежує область ; – одиничний вектор зовнішньої нормалі до поверхні у точці .

Нехай, далі, та їхні частинні похідні неперервні в області . Тоді справедлива формула Остроградського-Гаусса:

. (7)

Підінтегральна функція в потрійному інтегралі є , а поверхневий інтеграл – потік векторного поля через поверхню . Тому формулу (7) можна записати у векторній формі:

. (8)

Фізичний зміст формули Остроградського-Гаусса: потік векторного поля через замкнену поверхню в сторону зовнішньої нормалі дорівнює потрійному інтегралу по області, обмеженій цією поверхнею, від дивергенції векторного поля . Щоб потік був відмінним від нуля, всередині області мають бути джерела (або стоки) поля. Із формули Остроградського-Гаусса випливає, що тоді є відмінною від нуля. Таким чином, характеризує джерела поля. Само векторне поле як би розходиться від джерел. Звідси і походить назва «розбіжність» або «дивергенція».

4. Властивості соленоїдального поля

Як відомо, векторне поле , яке задовольняє в області умову , називається соленоїдальним в цій області. Нехай область є об’ємно однозв’язною. Це означає, що, якщо кусково-гладка замкнена поверхня лежить в області , то і область, яка обмежує поверхню , цілком належить

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать