Температурный расчет с помощью вычислений информационной математики

Постановка задачи.

По длинной квадратного сечения трубе течет горячая жидкость. Труба наполовину погружена в ледяную ванну, так, что температура нижней половины поверхности трубы равна 0⁰ С. Верхняя плоскость трубы имеет постоянную температуру 100 ⁰ С. На участке между ледяной ванной и верхней плоскостью температура наружной поверхности трубы изменяется линейно по высоте от 0 ⁰ С до 100 ⁰ С. Жидкость внутри трубы имеет температуру 200 ⁰ С.

Рис. 3.

Распределение температуры в теле трубы удовлетворяет уравнению

С погрешностью не более 0,5 ⁰ С вычислить распределение температуры в теле трубы.

Математическая формулировка задачи.

Решить диф.уравнение в частных производных:

с задаными началиными условиями на границах области дифференцирования.

При решении уравнения приблизительно заменю производные второго порядка конечно-разностными отношениями:

в результате чего диф.уравнение преобразуется в 5-ти диаганальную систему алгеброических уравнений n-го порядка.

Систему алгеброических уравнений буду решать методом Зейделя.

Погрешность решения задачи найду по формуле:

где, и -решения,полученные для одной и той же точки с разными шагами.

Функциональная схема.

Метод конечных разностей.

Описание метода.

Так назван метод решения краевых задач, основанный на приб­лиженной замене производных, входящих в дифференциальные урав­нения и краевые условия, нонечно-разностными отношениями. Эта замена позволяет свести краевую задачу к задаче решения системы алгебраических уравнений.

Конечные разности и производные.Пусть некоторая функция y(x) задана на отрезке [a,b]. Будем считать, что она непрерывна и многократно дифференциру­ема на этом отрезке. Разделим отрезок на равные части длиною h и обозначим точки деления x0,x1,...,xi,...,xn.Значе­ния функции в этих точках обозначим соответственно y0,y1,...,yi,...,yn.Первой центральной разностью в i-й точке (i=1,2,...,n-1) называют разность:

С помощью этой разности можно приближенно вычислить значение первой производной у` в i-й точке.

Разложим функцию y(x) в степенной ряд. приняв за центр разложения точку xi и ограничившись четырьмя членами:

где

Аналогично найдем значение ф-ции и в точке,отстоящей от центра разложения на шаг (-h):

где .

Подставляя получим:

Таким образом,производная y` приближонно заменяется конечно-разностным отношением с ошибкой порядка h*h:

Второй центральной разностью ф-ции y(x) в i-й точке называют величину:

С помощью этой разности можно приближонно вычислить значение второй производной y`` в i-й точке.Используем теперь 5 членов разложения в ряд Тейлора:

Таким образом,вторая производная y`` с ошибкой порядка h*h может быть приближонно заменена конечно-разностным отношением:

При определении разностей в i -и точке использовались значения функции в точках, расположенных симметрично относительно xi . Поэтому эти разности назы­ваются центральными.

Существуют также левые и правые разности, использующие точки, расположенные соответственно левее и правее точки xi. С помощью этих разностей можно также приближенно вычислять значения производных, но погрешность при этом будет больше -порядка h.

Разностные системы уравнений составляются в следующем порядке.

1. Исходное дифференциальное уравнение преобразуют к та­кой форме, чтобы затем получить из него наиболее простую разностную систему уравнений. При этом учитывают, что коэффициен­ты при производных войдут в разностную схему одновременно в несколько ее членов и затем будут распространены на