Уравнения с параметрами

ПЛАН

Введение

Глава 1.

§1. Теоретические основы решения уравнений с параметрами.

§2. Основные виды уравнений с параметрами.

Глава 2.

§1. Разработка факультативных занятий по теме.

Заключение.

ВВЕДЕНИЕ

Главной целью факультативных занятий по математике являются расширение и углубление знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей. Процесс обучения строится как совместная исследовательская деятельность учащихся.

Большую роль в развитии математического мышления учащихся на факультативных занятиях играет изучение темы "Уравнения с параметрами". Вместе с тем изучение этой темы в школьной программе не уделено достаточного внимания. Интерес к теме объясняется тем, что уравнения с параметрами предлагаются как на школьных выпускных экзаменах, так и на вступительных экзаменах в вузы.

Целью курсовой работы является ознакомление учащихся с теоретическими основами решения уравнений с параметрами, основными их видами и рекомендациями к решению.

ГЛАВА 1

§1. Теоретические основы решения уравнений с параметрами.

Рассмотрим уравнение

F (х, у, ..., z; α,β, ..., γ ) = 0 (F )

с неизвестными х, у, ..., z и с параметрами α,β, ..., γ ;при всякой допустимой системе значений параметров α₀ ,β₀ , ..., γ₀ уравнение (F) обращается в уравнение

F(х, у, ..., z; α₀ ,β₀ , ..., γ₀ ) = 0(F₀ )

с неизвестными х, у,..., z, не содержащее параметров. Уравнение (Fo ) имеет некоторое вполне определенное множество (быть, может, пустое) решений.

Аналогично рассматриваются системы уравнений, содержащих параметры. Допустимыми системами значений параметров считаются системы, допустимые для каждого уравнения в отдельности.

Определение. Решить уравнение (или систему), содержащее параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений параметров найти множество всех решений данного уравнения (системы).

Понятие эквивалентности применительно к уравнению, содержащим параметры, устанавливается следующим образом.

Определение. Два уравнения (системы)

F(х, у, ..., z; α,β, ..., γ) = 0 (F ),

Ф (х, у, ..., z; α,β, ..., γ) = 0 (Ф )

с неизвестным х, у,..., z и с параметрами α,β, ..., γ называются эквивалентными, если для обоих уравнений (систем) множество допустимых систем значений параметров одно и то же и при всякой допустимой системе значений, параметров оба уравнения (системы уравнений) эквивалентны.

Итак, эквивалентные уравнения при всякой допустимой системе значений параметров имеют одно и то же множество решений.

Преобразование уравнения, изменяющее множество допустимых систем значений параметров, приводит к уравнению, не эквивалентному данному уравнению.

Предположим, что каждое из неизвестных, содержащихся в уравнении

F(x, у,,z; α,β, ..., γ) =0 (F )

задано в виде некоторой функции от параметров: х = х(α,β, ..., γ );

у = у(α,β, ..., γ);….

z= z (α,β, ..., γ). (Х)

Говорят, что система функций (Х ), заданных совместно, удовлетворяет уравнению (F ), если при подстановке этих функций вместо неизвестных х, у,..., z в уравнение (F) левая его часть обращается в нуль тождественно при всех допустимых значениях параметров:

F ( x (α,β, ..., γ), y( α,β, ..., γ),…, z (α,β, ..., γ ) ≡0.

При всякой допустимой системе численных значений параметров α = α₀ ,β=β₀ , ..., γ= γ₀ соответствующие значения функций (Х ) образуют решение уравнения

F(х, у, ..., z; α₀ ,β₀ , ..., γ₀ ) = 0

§2. Основные виды уравнений с параметрами .

Линейные и квадратные уравнения.

Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами : ах = b , где х – неизвестное, а, b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра а является значение а = 0.

1. Если а ≠ 0 , то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение х = .

2. Если а = 0, то уравнение принимает вид: 0 х = b . В этом случае значение b = 0 является особым значением параметра b .

2.1. При b ≠ 0 уравнение решений не имеет.

2.2. При b = 0 уравнение примет вид : 0 х = 0. Решением данного

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать