Аналитическая геометрия 2

министерство образования российской федерации

магнитогорский государственный

технический университет им. г. и. носова

кафедра математики

аналитическая геометрия

Методическая разработка для самостоятельной

работы студентов по курсу «Высшая математика»

Магнитогорск

2007

Составитель: Акуленко И. В.

Аналитическая геометрия: Методическая разработка для самостоятельной работы студентов по курсу «Высшая математика» для студентов всех специальностей. Магнитогорск: МГТУ, 2007. 30 с.

Методическая разработка содержит перечень вопросов по изучаемому разделу, решение типовых задач по изучаемому разделу.

Рецензент: старший преподаватель Коротецкая В. А.

Введение

Методическая разработка предназначена для студентов всех специальностей.

Данная методическая разработка ставит своей целью помочь студенту самостоятельно овладеть методами решения задач по разделу «Аналитическая геометрия».

В методической разработке:

• содержится теоретическое введение;
• решение типовых задач;
• указана литература.

Методическая разработка предоставляет студенту широкие возможности для активной самостоятельной работы.

Прямая на плоскости

1) – общее уравнение прямой;

2) – уравнение прямой, проходящей через точку М₀ (х₀ , у₀ ) перпендикулярно нормальному вектору

3) уравнение прямой, проходящей через точку М₀ (х₀ , у₀ ) параллельно направляющему вектору (каноническое уравнение прямой);

4) параметрическое уравнение прямой;

5) уравнение прямой в отрезках , где и - величины направленных отрезков, отсекаемых на координатных осях и соответственно;

6) уравнение прямой, проходящей через точку М₀ (х₀ , у₀ ), угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси ;

7) уравнение прямой с угловым коэффициентом ; - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ;

8) тангенс острого угла между двумя прямыми и

9) и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых и

10) расстояние от точки М₀ (х₀ , у₀ ) до прямой ;

11) уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения прямых и

12) уравнение прямой, проходящей через две данные точки М₁ (х₁ , у₁ ) и М₂ (х₂ , у₂ );

Пример 1. Даны вершины треугольника М₁ (2; 1), М₂ (-1; -1) и М₃ (3; 4). Составить уравнения его высот.

Решение.

Пусть М₁ N – высота треугольника М₁ М₂ М₃ . Рассмотрим два вектора и По условию эти векторы ортогональны.

Значит,Аналогично находим другие высоты треугольника.

Ответ:

Пример 2. Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами А(3; 2), В(5; -2), С(1; 0).

Решение.

1) Воспользуемся уравнением прямой,

АВ:

Найдем уравнение медианы АМ. Для этого найдем координаты точки М – середины отрезка ВС:

М(3; -1).

Уравнение АМ:

уравнение медианы, проведенной из вершины А.

2) Найдем уравнения СВ и CN; N(x; y), где

N(4; 0).

Тогда ВС:

CN:

Ответ: АВ: ВС: СА: АМ:

СN: BF:

Пример 3. Даны вершины треугольника А(1; -1), В(-2; 1) и С(3;5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В.

Решение.

По условию следовательно,

Тогда искомое уравнение будет:

Ответ:

Пример 4. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин В(2;-7), а также уравнение высоты и медианыпроведенных из различных вершин.

Решение .

1) По условию есть уравнение высоты треугольника, значит, её нормальный вектор является направляющим вектором стороны ВС.

(ВС).

2) Обозначим координаты вершины А через x₁ , y₁ : A(x₁ ; y₁ ). Так как точка М(х; у) середина отрезка АВ, то Так как точка М(х; у) лежит на медиане, то её координаты удовлетворяют уравнениюКроме того, точка А лежит на высоте h: , значит, координаты точки A(x₁ ; y₁ ) удовлетворяют этому уравнению. Получаем линейную алгебраическую систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Отсюда находим х₁ =-4, у₁ =1, А(-4; 1).

3) Найдем уравнение стороны АВ треугольника как уравнение прямой, проходящей через В(2; -7) параллельно вектору

(АВ).

4) Найдем координаты вершины С как точки пересечения прямых (ВС) и (m):

отсюда С(5; -6).

5) Уравнение стороны АС как уравнение прямой, проходящей через две данные точки: А(-4; 1) и С(5; -6); (АС).

Ответ: (ВС) , (АВ) ,

(АС) .

Пример 5. Составить уравнение биссектрис углов между прямыми .

Решение.

Точка М(х, у) лежит на одной из

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать