Векторная алгебра 2

ГЛАВА 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

§1. Основные определения.

При изучении различных физических процессов и явлений нам приходится иметь дело с объектами разной природы. Некоторые величины в физике, механике и технике полностью описываются заданием их числовых значений. Такими величинами, например, являются длина, объём тела, его масса, температура, электрический заряд и другие.

Эти величины называются скалярными или просто скалярами.

Однако, чтобы задать такие величины как скорость, ускорение, силу, напряженность магнитного поля и так далее, необходимо указать не только численное значение этой величины, но и её направление в пространстве.

Определение 1.

Величина, для которой указаны ее численное значение и направление , называется векторной или вектором.

Векторы изображаются направленными прямолинейными отрезками и обозначаются или , где точки и – начало и конец вектора соответственно. Так фиксируется его направление.

Численное значение векторной величины называется длиной или модулем вектора и обозначается или (длина отрезка).

Если , то – нулевой вектор; направление нулевого вектора

не определено, т. е. его можно считать произвольным.

Определение 2.

Если задан ненулевой вектор , то единичный вектор того же направления называется ортом вектора .

Определение 3.

Два вектора и называются коллинеарными , если они параллельны одной прямой. Это обычно обозначают так . Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Определение 4.

Три вектора называются компланарными , если они параллельны одной плоскости. Нулевой вектор считается компланарным любой системе компланарных между собой векторов.

Определение 5.

Два вектора равны , т.е. , если выполнены три условия:

1. модули их равны =;

2. они параллельны друг другу ;

3. вектора и одинаково направлены.

Из определения равенства векторов следует, что параллельное перемещение не меняет вектора . Этим свойством можно пользоваться, чтобы приводить векторы к общему началу, т. е. откладывать их из одной точки. Такие вектора называют свободными .

§2. Линейные операции над векторами.

Операции сложения , вычитания векторов и умножения вектора на скаляр называются линейными.

Сложение и вычитание векторов.

Сумму двух векторов и можно найти по правилу параллелограмма .

Для этого надо привести их к общему началу и построить на этих векторах параллелограмм как на сторонах. Тогда диагональ параллелограмма, исходящая из общего начала векторов и и будет их суммой (рис.1).

.

Вычитание векторов можно выполнять

как сложение вектора и , т.е. .

Тогда вторая диагональ параллелограмма, исходящая из конца вектора даст нам вектор , представляющий собой разность векторов и : .

Так как противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, то, учитывая определение равенства двух векторов, сумму векторов и можно представить как третий вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора .

Такой способ построения суммы векторов называют правилом треугольника .

Для этого начало вектора надо совместить с концом вектора , а затем соединить начало вектора с концом вектора .

Тогда, как видно из рис.1, получим вектор .

Для нахождения разности векторов приведём

их к общему началу. Соединив их концы, построим треугольник. Тогда имеем .

Отсюда легко можно получить правило для нахождения суммы большего числа векторов.

Сумму нескольких векторов можно найти по правилу многоугольника: чтобы найти вектор, представляющий собой сумму заданных векторов, нужно последовательно совместить начало следующего вектора-слагаемого с концом предыдущего, тогда вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом последнего, будет суммой заданных векторов.

Например, вектор есть сумма заданных векторов и :

.

Свойства сложения векторов:

1) – переместительное св-во (коммутативность);

2) – сочетательное св-во (ассоциативность). Оба свойства операции сложения векторов следуют непосредственно из определения операции.

Для любых двух векторов и справедливо неравенство треугольника: (если векторы и неколлинеарны, то сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны). Очевидно, что это неравенство выполняется и для любого числа векторов, т.е. .

Умножение вектора на скаляр .

Пусть – ненулевой вектор, – скаляр.

Произведением вектора на скаляр называется вектор , обладающий следующими свойствами:

а) , ;

б) , т.е. они коллинеарны;

в) сонаправлен вектору (т.е. направлен одинаково с ним), если , и направлен в противоположную сторону, если .

Замечание. Из определения следует, что

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать