Числовые ряды 3

Числовые ряды

Основные понятия

Числовым рядом называется выражение вида

где – действительные или комплексные числа, называемые членами ряда , - общим членом ряда.

Ряд считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера n : .

Сумма первых n членов ряда называется n -й частичной суммой ряда и обозначается через , т.е.

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда , то этот предел называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится . Записывают:

Если не существует или =, то ряд называют расходящимся . Такой ряд суммы не имеет.

Рассмотрим некоторые важные свойства рядов:

Свойство 1 . Если ряд сходится и его сумма равна S , то ряд

где с – произвольное число, также сходится и его сумма равна cS . Если же ряд расходится и , то и ряд расходится.

Обозначим n -ю частичную сумму ряда через . Тогда

Следовательно,

,

т.е. ряд сходится и имеет сумму cS .

Покажем теперь, что если ряд расходится, , то и ряд расходится. Допустим противное: ряд сходится и имеет сумму .

Тогда

Отсюда получаем:

т.е. ряд сходится, что противоречит условию о расходимости ряда.

Свойство 2. Если сходится ряд и сходится ряд

А их суммы равны и соответственно, то сходятся и ряды

,

причем сумма каждого равна соответственно .

Обозначим n -е частичные суммы рядов , и через , и соответственно. Тогда

т.е. каждый из рядов сходится, и сумма его равна соответственно.

Из свойства 2 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.

Свойство 3 . Если к ряду прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд сходятся или расходятся одновременно.

Обозначим через S сумму отброшенных членов, через k – наибольший из номеров этих членов. Чтобы не менять нумерацию оставшихся членов ряда, будем считать, что на месте отброшенных членов поставили нули. Тогда при n>k будет выполняться равенство , где – это n -я частичная сумма ряда, полученного из ряда путем отбрасывания конечного числа членов. Поэтому

+ . Отсюда следует, что пределы в левой и правой частях одновременно существуют или не существуют, т.е. ряд сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходятся (расходятся) ряды без конечного числа его членов.

Аналогично рассуждаем в случае приписывания к ряду конечного числа членов.

Ряд

=

называется n -м остатком ряда . Он получается из ряда отбрасыванием n первых его членов. Ряд получается из остатка добавлением конечного числа членов. Поэтому, согласно свойству 3, ряд и его остаток =

одновременно сходятся или расходятся.

Из свойства 3 также следует, что если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю при , т.е.

Ряд геометрической прогрессии

Исследуем сходимость ряда

,

который называется рядом геометрической прогрессии . Ряд часто используется при исследовании рядов на сходимость.

Как известно, сумма первых n членов прогрессии находится по формуле . Найдем предел этой суммы:

.

Рассмотрим следующие случаи в зависимости от величины q :

1. Если , то при . Поэтому , ряд сходится, его сумма равна ;
2. Если , то при . Поэтому , ряд расходится;
3. Если , то при q=1 ряд принимает вид

a+a+a+…+a+…, для него и , т.е. ряд

расходится; при q=-1 ряд принимает вид

а – а + а – а +...- в этом случае при четном n и при нечетном n . Следовательно, не существует, ряд расходится.

Необходимый признак сходимости числового ряда.

Гармонический ряд.

Нахождение n -й частичной суммы и ее предела для произвольного ряда во многих случаях является непростой задачей. Поэтому для выяснения сходимости ряда устанавливают специальные признаки сходимости . Первым из них, как правило, является необходимый признак сходимости.

Теорема.

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е. .

Пусть ряд сходится и . Тогда и . Учитывая, что при n>1 , получаем:

.

Следствие (достаточное условие расходимости ряда)

Если или этот предел не существует, то ряд расходится.

Действительно, если бы ряд сходился, то (по теореме) . Но это противоречит условию. Значит, ряд расходится.

Теорема о сходимости дает необходимое условие сходимости ряда, но не достаточное: из условия не следует, что ряд сходится. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которых .

В качестве примера рассмотрим так называемый гармонический ряд

Очевидно, что . Однако ряд расходится.

Как известно, . Отсюда следует, что при любом имеет место неравенство . Логарифмируя это неравенство по основанию е , получим:

,

т.е. ,

Подставляя в полученное неравенство поочередн

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать