Спектральная теория операторов

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Спектральная теория операторов

Саранск 2009

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………..………………………………………………..4

1 Линейный оператор…………………………………………………………...4

1.1 Понятие линейного оператора………………………………………...4

1.2 Линейные преобразования………………………………………….....4

1.3 Сопряжённый и самосопряжённый оператор………………………..5

2 Спектральная теория компактных операторов……………………………...7

2.1 Спектр оператора……………………………………………………...7

2.2 Понятие об ограниченном операторе………………………………­­­...8

2.3 Понятие о компактном операторе…………………………………...13

3 Спектральная теория компактных операторов……………………………….16

3.1 Множество значений компактного оператора……………………........16

3.2 Собственное значение компактного оператора……………………..18

Заключение……………………………………………………………………...25

Список использованных источников……………………………………..…...26

ВВЕДЕНИЕ

Данная курсовая работа посвящена спектральной теории операторов. В отдельной главе более подробно рассматривается спектральная теория компактных операторов. Важнейшими задачами этой теории являются утверждения о приведении изучаемых операторов к так называемому диагональному виду – спектральные теоремы, утверждения о свойствах спектра и собственных значениях.

Цель данной курсовой работы – познакомить тех, кто интересуется математикой со спектральной теорией операторов, в частности, со спектральной теорией для компактных операторов.

Данная курсовая работа состоит из трёх глав:

1) Линейный оператор;

2) Спектральная теория операторов;

3) Спектральная теория компактных операторов.

В первой главе рассматривается понятия линейного оператора, линейные преобразования, сопряжённый и самосопряжённыйоператор.

Во второй главе рассматривается понятие спектра оператора, теорема для замкнутого линейного оператора, спектральный радиус,понятие об ограниченном операторе и компактных операторах, а также теорема, являющаяся важным характеристическим свойством компактных операторов.

В третьей главе рассматриваются множество значений компактного оператора, собственные значения компактного оператора. В каждой главе приводятся решённые примеры.

1 Линейный оператор

1.1 Понятие линейного оператора

Функцию, множество значений которой принадлежит полю скаляров, называют функционалом.

Вообще функция может быть определена не на всем гиль­бертовом пространстве, а лишь на некотором его подмножестве. Это подмножество называют областью определения функции. Множеством значений функции называют множество, в которое эта функция отображает свою область определения. Для удобства условимся обозна­чать область определения через D, гильбертово пространство ее содержащее, — через Н₁ множество значений — через R а со­держащее его пространство — через Н₂ .

Определение 1.1 Оператор (преобразование) L назы­вается линейным, если его область определения D является ли­нейным подпространством (плотным или нет) и он линеен на D

L(x + y)=Lx + Ly (1.1). [9]

Множество линейного оператора также является линейным подпространством.

1.2 Линейные преобразования

Определение 1.2 Графиком G(T) линейного преобразования Т называется подпространство в произведении подпространств Н₁ Н₂ , образованное по правилу

G(T) = (1.2).

Определение 1.3 Линейное преобразование Т называется замкнутым, если его график функции замкнут в Н₃ . Иначе замкнутость оператора Т можно определить так: пусть x_n D(T), x_n x, Tх_n у. Тогда x D(Т) и Тх = у.

Отметим, что, как правило, дифференциальные операторы замкнуты. Этот факт и определяет необходимость рассмотрения класса замкнутых операторов.

Определение 1.4 Линейное преобразование Т назы­вается ограниченным, если D = Н₁ и

sup=M< (1.3).

Определение 1.5 Нормой линейного ограниченного преобразования T называется число

sup (1.4)

Линейное преобразование ограничено, если оно непрерывно в начале координат. Тогда оно непрерывно в каждой точке. Ограниченное линейное преобразование, очевидно, непрерывно.

Пусть Т₁ , Т₂ — линейные ограниченные операторы, отобра­жающие пространство Н₁ в Н₂ . Тогда ясно, что сумма T₁ +Т₂ также является линейным ограниченным оператором. Кроме того,

(1.5)

В силу определения (T)x= Тх, где элемент поля скаля­ров, следовательно, оператор Т ограничен, если T ограничен. Следовательно, множество всех линейных ограниченных опера­торов образует линейное пространство, а норма оператора яв­ляется нормой на этом пространстве. Полученное таким обра­зом линейное нормированное пространство операторов обозна­чается через L(H₁ ,H₂ ). Нетрудно показать, что пространство L(H₁ ,H₂ ) полно. Действительно, если {Tn} — последователь­ность Коши этого пространства, то для любого элемента х про­странства H₁ имеем

(1.6).

Следовательно, {T_n x} является последовательностью Коши про­странства H₂ , ее предел обозначим через Тх. Очевидно, что оператор Т ли

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать