Шпоры по математическому анализу

1. Производные и дифференциалы высших порядков

Опр-ие: производной n-го порядка (n³2) функции у= f (х) называется производная (первого порядка) от производной (n-1)-го порядка.

Найдя 1-ю производную можно определить 2-ю производную по тем же формулам, по которым определяли первую.

Опр-ие: Дифференциалом n-го порядка функции у= f (х) называется дифференциал первого порядка от дифференциала (n-1)-го порядка. (обозначается dⁿ y )По определению dⁿ y= d(d^n-1 y) . Иногда dy называют диф. Первого порядка. В общем случае, dⁿ y=f⁽ⁿ⁾ (х)dxⁿ , в предположении, что n-ая производная f⁽ⁿ⁾ (х) сущ-ет, поэтому понятно, что n-e. Производную обозначают так

3. Теорема Ролля.

Теорема Ролля : Если функция у= f (х) непрерывна на замкнутом промежутке [a,b], дифференцируема хотя бы в открытом промежутке (a,b) и на концах промежуткаее значения совпадают f(a)=f(b) , то внутри промежутка найдется такая точка x=c, что f'(c)=0

Док-во: Если функция сохраняет постоянное значение на промежутке [a,b], f (х)= f(a)=f(b) , то f'(c)=0 и в качестве точки с можно взять любую точку интервала (a,b).

Пусть теперь функция f(x) не является постоянной. По теореме Вейштраса существуют точки х₁ и х₂ на отрезке [a,b] , в которых достигаются наименьшее m и наибольшее М значения функции. Обе эти точки не могут быть концевыми для отрезка [a,b], т.к. из условия f(a)=f(b) вытекало бы, что m =М , следовательно, функция f (х) сохраняла бы постоянное значение, вопреки предположению.

Допустим, что не совпадает с концом отрезка точка х₁ , т.е. a< х₁ <b , тогда х₁ является точкой локальности экстремума. По условия теоремы существует f'( х₁ ) . Из этих двух утверждений по теореме Ферма получаем f'( х₁ ) =0, следовательно,

х₁ можно принять за точку с .

2. Теорема Ферма (необходимое условие локального экстремума).

Опр-ие: Функция у= f (х) имеет в точке x₀ локальный максимум , если сущ-ет окрестность (х₀ - d , х₀ + d ), для всех точек х которой выполняется неравенство f (х) £ f (х₀ ). Аналогично определяется локальный минимум, но выполняться должно равенство f (х) ³ f (х₀ ).

Теорема Ферма : Если функция у=f(х) имеет в точке х₀ локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то ее производная f'( х₀ ) равна нулю.

Док-во: Проведем его для случая максимума в точке х₀ . Пусть (х₀ - d , х₀ + d ) - та окрестность, для точек которой выполняется неравенство

Здесь возможно как 1 и 2 варианты, но | ∆х| <δ

При ∆х>0, будет ∆y:∆x ≤0, поэтому

При ∆х<0, будет ∆y:∆x ≥0, поэтому

По условию теоремы, существует производная f'( х₀ ) А это означает, что правая производная f_пр '( х₀ ) и левая производная f_л '( х₀ ) равны между собой: f_пр '( х₀ )= f_л '( х₀ )= f'( х₀ ). Таким образом, с одной стороны, f'( х₀ )≤0, с другой стороны, f'( х₀ )≥0, что возможно лишь, когда f'( х₀ )=0.

4. Теорема Коши .

Теорема Коши: Пусть функции у= f (х) и у= g (х) неперырвны на отрезке [a,b],дифференцируемы хотя бы в открытом промежутке (a,b) и на этом промежутке g'( х ) не обращается в нуль. Тогда существует такая точка c Î (a,b), что выполняется равенство (1)
Докозательство: Вначале отметим, что знаменатель g(b)-g(a) ≠ 0 ,т.к. из равенства g(b)=g(a) следовало бы по теореме Ролля, что производная g'( х ) обратилась бы в нуль в какой-нибудь точке промежутка (a,b), что противоречит условию g'( х )≠0 . Образуем вспомогательную функцию:

К ней применима теорема Ролля: F(х) непрерывна в [a,b] и дифференцируема в (a,b) как сумма функций, непрерывных и дифференцируемых в соответствующих промежутках, кроме того, как легко проверить непосредственно, F(a)=F(b)=0. Следовательно, существует точка cÎ (a,b), , такая, что F'(c)=0. Вычисляем:

Подставляем x=c:

После деления на g'(х) (причем как говорилось раньше

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать