Теория случайных чисел

Раздел 1. Теория случайных чисел.

Все события делятся на детерминированные, случайные и неопределенные.

Если событие наступает в эксперименте всегда, оно называется достоверным , если никогда – невозможным . Это детерминированные события.

Статистическое определение вероятности: Если в опыте, повторяющемся n раз, событие появляется m_A раз, тогда относительная частота наступления события: . Р(А) – вероятность наступления события А.

Для достоверного события W: Р(W)=1. Для невозможного события Æ: Р(Æ)=0.

0 £ P(A) £ 1, т.к. 0£m_A £n - 0 £ hn(A) £ 1

W m_A =n hn(A)=1

Æ m_A =0 hn(A)=0

Все мыслимые взаимоисключающие исходы опыта называются элементарными событиями . Наряду с ними можно наблюдать более сложные события – комбинации элементарных.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными , если появление одного из них не более возможно, чем другого.

Классическое определение вероятности: Если n-общее число элементарных событий и все они равновозможные, то вероятность события А:

,

где m_A - число исходов, благоприятствующих появлению события А.

Раздел 2. Сложные события.

Теория сложных событий позволяет по вероятностям простых событий определять вероятности сложных. Она базируется на теоремах сложения и умножения вероятностей.

1) Суммой (объединением) двух событий А и В называется новое событие А+В, заключающееся в проявлении хотя бы одного из этих событий.

2) Произведением (пересечением) двух событий А и В называется новое событие АВ, заключающееся в одновременном проявлении обоих событий. А*В=АВ, АА=А, АВА=АВ.

3) Событие А влечет за собой появление события В, если в результате наступления события А всякий раз наступает событие В. АÌВ

А=В: АÌВ, ВÌА

Два события называются несовместными , если появление одного из них исключает возможность появления другого.

Если события несовместны, то АВ=Æ.

События А₁ , А₂ , …А_n образуют полную группу событий в данном опыте, если они являются несовместными и одно из них обязательно происходит:

A_i A_j = Æ (i ¹ j, i,j=1,2…n)

A₁ +A₂ +…+A_n = W

- событие противоположное событию А, если оно состоит в не появлении события А.

А и - полная группа событий, т.к. А+=W, А=Æ.

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей событий:

Р(А+В+С+…) = Р(А) + Р(В) + Р(С) +…

Следствие. Если события A₁ +A₂ +…+A_n - полная группа событий, то сумма их вероятностей равна 1.

P(A+ ) = P(A) + P() = 1

Вероятность наступления двух совместных событий равна:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)

Р(А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) – Р(АВС)

Теорема. Если АÌВ, то Р(А) £ Р(В).

В=В₁ +В₂ (В₁ =А) Р(В)=Р(В₁ ) + Р(В₂ )= Р(А) + Р(В₂ )

Теорема умножения вероятностей. Условные вероятности.

Опыт повторяется n раз, m_B раз наступает событие В, m_АВ раз наряду с событием В наступает событие А.

hn(B) = hn(AB) =

Рассмотрим относительную частоту наступления события А, когда событие В уже наступило:

- условная вероятность события А по событию В – вероятность события А, когда событие В уже наступило.

Свойства условных вероятностей.

Свойства условных вероятностей аналогичны свойствам безусловных вероятностей.

1. 0 £ Р(А/В) £ 1, т.к. ; АВ Ì В, Р(АВ) £ Р(В)

2. Р(А/А)=1

3. ВÌА, - Р(А/В)=1

4.

5. Р[(A+C)/B] = Р(А/В) + Р(C/В) – Если события А и С несовместны

Р[(A+C)/B] = Р(А/В) + Р(C/В) - Р(АC/В) – Если события А и С совместны

Теорема . Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого.

Свойства независимых событий.

Если события А и В независимы, то независимы и каждая из пар: А и В, А и , и В, .

Если события Н₁ , Н₂ , …Н_n независимы, то заменяя любые из них на противоположные, вновь получаем независимые события.

Формула полной вероятности.

Вероятность события В, которое может произойти совместно только с одним из событий Н₁ , Н₂ , …Н_n , образующих полную группу событий, вычисляется по формуле:

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать