Основные понятия высшей математики

Высшая математика

(учебный курс)

Составитель

доцент кафедры математики и моделирования ВГУЭС

Шуман Галина Ивановна

Оглавление

- Элементы линейной алгебры

- Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной

- Функция нескольких переменных

- Обыкновенные дифференциальные уравнения

- Комбинаторные формулы

- Статистическое определение вероятности.

- Формула полной вероятности.

- Асимптотические формулы для формулы Бернулли.

- Дискретные случайные величины.

- Биномиальный закон распределения.

- Непрерывные случайные величины.

- Правило 3-х s (трех “сигм”).

- Распределение c² .

- Математическая статистика.

- Интервальные оценки.

- Задачи статистической проверки гипотез.

Элементы линейной алгебры

Оглавление раздела

§ 1. Системы линейных уравнений

§ 2. Метод Гаусса решения систем линейных

уравнений

§ 3. Элементы теории матриц

§ 4. Определители

§ 5. Вычисление обратной матрицы

§ 6. Правило Крамера решения квадратных систем линейных равнений

§ 1. Системы линейных уравнений

Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде:

§ 1. Системы линейных уравнений

Решением системы будем называть упорядоченный набор чисел x ₁ , x ₂ , … , x_n , обращающий каждое уравнение системы в верное равенство.

Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что ни одного решения нет.

Система, имеющая решение, называется совместной .

§ 1. Системы линейных уравнений

Если система имеет только одно решение, то она называется определенной .

Система, имеющая более чем одно решение, называется неопределенной (совместной и неопределенной ).

Если система не имеет решений, то она называется несовместной .

§ 1. Системы линейных уравнений

Система, у которой все свободные члены равны нулю (b ₁ = b ₂ =…= b_n = 0), называется однородной .

Однородная система всегда совместна, так как набор из n нулей удовлетворяет любому уравнению такой системы.

Если число уравнений системы совпадает с числом неизвестных (m=n ), то система называется квадратной .

§ 1. Системы линейных уравнений

Две системы, множества решений которых совпадают, называются

эквивалентными или равносильными .

Преобразование, применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется эквивалентным или равносильным преобразованием .

§ 2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Рассмотрим квадратную систему:

§ 2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Проведем следующие преобразования системы:

1) поскольку a ₁₁ ≠ 0 , первое уравнение оставим без изменений;

2) вместо второго уравнения запишем уравнение, получающееся, если из второго уравнения вычесть первое, умноженное на 4;

3) вместо третьего уравнения запишем разность третьего и первого, умноженного на 3;

4) вместо четвертого уравнения запишем разность четвертого и первого, умноженного на 5.

§ 2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Полученная новая система эквивалентна исходной и имеет во всех уравнениях, кроме первого, нулевые коэффициенты при x ₁ (это и являлось целью преобразований 1 – 4):

§ 2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Можно доказать, что

замена любого уравнения системы новым, получающимся прибавлением к данному уравнению любого другого уравнения системы, умноженного на любое число, является эквивалентным преобразованием системы.

§ 2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Исходную систему можно представить в виде таблицы:

§ 2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Прямоугольную таблицу, состоящую из p строк и q столбцов, будем называть матрицей размера p × q :

§ 2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Числа a_ij называются элементами матрицы. Первый индекс фиксирует номер ст

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать