Теория линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Министерство образования Российской Федерации

БИРОБИДЖАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Кафедра математики

ЦВАСМАН Павел Валерьевич

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

Теория линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Научный руководитель

д.ф.м.н., профессор К.Ч.Хе

Биробиджан, 2001

К защите допускаю: К защите допускаю:

Научный руководитель Зав.кафедрой

__________________ ________________

Содержание

Введение.......................................................................................................4

1. Линейное уравнение первого и второго порядка

1.1. Линейное уравнение первого порядка...............................................6

1.2. Основные свойства линейного уравнения второго порядка

с постоянными коэффициентами......................................................12

2. Линейные уравнения n-го порядка

2.1 Общие свойства линейного уравнения n-го порядка.........................22

2.2 Однородное линейное уравнение n-го порядка.................................28

2.3 Неоднородное линейное уравнение n-го порядка..............................33

2.4Линейное уравнение n-го порядка с постоянными

коэффициентами.....................................................................................38

Заключение..................................................................................................47

Приложение.................................................................................................48

Библиография..............................................................................................61

содержание

введение 4

1. Линейное уравнение первого и второго порядка 6

1.1 Линейное уравнение первого порядка 6

1.2 Основные свойства линейного уравнения с постоянными коэффициентами 11

2. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ n-го ПОРЯДКА 23

2.1. Общие свойства линейного уравнения n-го порядка 23

2.2. Однородное линейное уравнение n-го порядка 28

2.3 Неоднородное линейное уравнение n-го порядка 32

2.4 Линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами 36

3. Системы линейных уравнений. Общая теория 46

3.1. Системы линейных уравнений 46

3.2. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 55

Заключение 63

Библиография 64

Приложение 65

введение

Актуальность этой темы заключается в том, что многие вопросы физики, химии, экономики, техники и других областей знаний сводятся к следующей задаче: найти функцию ¦, имея некоторые уравнения, в которое кроме этой функции и аргументов, от которых она зависит, входят также ее производные до некоторого порядка включительно. Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями. Т.е. многие вопросы этих областей знаний решаются с помощью дифференциальных уравнений.

Уравнения, содержащие производные по многим независимым переменным, называются уравнения в частных производных. Уравнения, cодержащие производные лишь по одной из независимых переменных, называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Независимую переменную, производная по которой входит в обыкновенное дифференциальное уравнение, обычно обозначают буквой x (или буквой t, поскольку во многих случаях роль независимой переменной играет время). Неизвестную функцию обозначают через y(x).

Обыкновенное дифференциальное уравнение можно записать в виде соотношения

Порядок старшей производной, входящей в это уравнение называется порядком уравнения. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Целью данной дипломной работы является подготовка материалов для методического пособия по теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Задачами исследования были: изучение и анализ линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами; рассмотрение свойств уравнений первого, второго и n-го порядков и свойств системы линейных уравнений; рассмотрение методов решения линейных однородны и неоднородных дифференциальных уравнений и применение их при решении физических задач, а также систем линейных дифференциальных уравнений..

Предметом исследования работы: являются линейные обыкновенных дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и системы линейных уравнений.

Объектом исследования работы являются реальные процессы, описываемые данными дифференциальными уравнениями.

1. Линейное уравнение первого и второго порядка 1.1 Линейное уравнение первого порядка

Уравнение называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и её производных. Линейное уравнение первого порядка имеет вид

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать