ФГОУ ВПО «Чувашский государственный университет имени И.Н.Ульянова»
Кафедра высшей математики
КУРСОВАЯ РАБОТА
По дисциплине: «Алгебра и геометрия»
На тему: «Приведение поверхностей второго порядка к каноническому виду путём преобразования системы координат»
Выполнил: ст. гр. РТЭ-51-09
Казарин Д.В.
Проверил: доцент Поляков Н.Д.
Чебоксары 2009
Содержание
ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………….3
§1. Прямоугольно-декартовая система координат ………………………….4
1.1 Основные векторы ……………………………………………………..4
1.2 Координаты пространственной точки………………………….……..4
1.3 Координаты вектора…………………………………………...….……6
1.4 Выражение вектора через его проекции ………………………….…..7
1.5 Углы между осями координат и вектором …………………….……...7
§2. Преобразование систем координат …………………………………….....9
Перенос начала координат …………………………………….……….9
2.2 Поворот осей координат ……………………………………………….10
2.3 Общее преобразование …………………………………………………12
§3. Приведение уравнения поверхностей второго порядка
в пространстве к каноническому виду ……………………………………14
3.1 Уравнения поверхности второго порядка в пространстве ……….….14
3.2 Канонический вид уравнения поверхности второго
порядка в пространстве ………………………………………………. 15
3.3 Приведение к каноническому виду ……………………………….…..15
3.4 Заключение ……………………………………………………………..18
§4. Классификация центральных поверхностей второго порядка….……….19
4.1 Классификация нецентральных поверхностей второго порядка ...….22
§5. Типы поверхностей второго порядка ……………………………………26
5.1 Эллипсоид …………………………………………………………........26
5.2 Однополостный гиперболоид ……………………………….....……....27
5.3 Двуполостный гиперболоид ………………………………….…...…...26
5.4 Конус ………………………………………………………….…………27
5.5 Эллиптическим параболоидом ……………………………….………..31
5.6 Гиперболический параболоид …………………………………………33
5.7 Остальные поверхности второго порядка …………………………….34
Приложение №1.………………………………………………………….…….36
Приложение №2………………………………………………………………...45
ЛИТЕРАТУРА ……………………………………………………………….…52
Введение
Предмет аналитической геометрии заключается в исследовании геометрических форм с помощью алгебраического анализа. В различных разделах элементарной математики , алгебра прилагается к решению многих геометрических вопросов.
Числа, определяющие положение геометрической формы, называются её координатами. Способ же, с помощью которого определяется положение геометрической формы, носит название способа или метода координат.
Геометрические формы весьма разнообразны, и при построении в аналитической геометрии, мы должны принять одну из множества форм за первичную, с помощью которой мы будем образовывать все остальные. Проще всего за такую начальную форму принять геометрическую точку. Приняв за начальный элемент точку, мы должны показать, каким образом определяется положение точки в пространстве с помощью чисел , так же важно установить, каким образом геометрические свойства линии отражаются на координатах точек, принадлежащих этой линии.
Геометрическое место точек называется поверхностью. Так же поверхность можно определить как множество точек , координаты которых удовлетворяют определённому виду уравнений.
§1. Прямоугольно-декартовая система координат
Основные векторы
Три взаимно перпендикулярные оси Оx, Оy, Оz (рис. 1.1), проходящие через некоторую точку О, образуют прямоугольную систему координат. Точка О называется началом координат, прямые Оx, Оy, Оz – осями координат (Оx – ось абсцисс, Оy – ось ординат, Оz – аппликат), а плоскости xOy, yOz, zOx – координатными плоскостями. Какой – либо отрезок UV принимается за единицу масштаба для всех трех осей.
Отложив на осях Оx, Оy, Оz в положительном направлении отрезки OA, OB, OC, равные единице масштаба, получаем три вектора , , , которые называются основными векторами и обозначаются соответственно i, j, k
Положительные направления на осях принято выбирать так, чтобы поворот на 90 , совмещающий положительный луч Оx с лучом Оy (рис. 1.1), казался происходящим против часовой стрелки, если наблюдать его со стороны луча Оz. Такая система координат называется правой. Иногда пользуются и левой системой координат. В ней упомянутый поворот совершается по часовой стрелке.
1.2. Координаты пространственной точки
Положение любой точки М в пространстве можно определить тремя координатами следующим образом. Через точку М проводим плоскости МР, MQ, MR (рис. 1.2) соответственно параллельные плоскостям yOz , zOx , xOy. В пересечении данных плоскостей с осями координат получаем точки P, G, R .
Числа x (абсцисса), y (ордината), z (аппликата), измеряющие отрезки ОР, OQ, OR в избранном масштабе, называются координатами точки M в прямоугольной системе координат. Они берутся положительными или отрицательными, смотря по тому, имеют ли векторы , , соответственно те же направления, что и основные векторы i, j, k, или противоположные.
В общем виде положение некоторой точки М в прямоугольной системе координат определяется
Одними из наиболее популярных услуг на рынке IT-технологий являются создание и продвижение лендингов. Они способны положительно влиять на деятельность любого бизнес-проекта в интернете. Судя по многочисленным отзывам, заказавшие создание лендингов люди ни разу не пожалели о потраченных деньгах. Они вложили в будущее, которое неразрывно связано с интернетом. Всё больше и больше предпринимателей обращаются к услугам разных агентств, веб-студий, чтобы заказать создание лендинга у профессионалов.