по Экономике 29

Задача 1.5

Продукция двух видов (краска для внутренних (I) и наружных (E) работ) поступает в продажу. Для производства красок используются два исходных продукта – A и B. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн соответственно. Расходы продуктов A и B на1 1 т соответствующих красок приведены в таблице.

Исходный продукт	Расход исходных продуктов на тонну краски, т		Максимально возможный запас, т
	Краска T	Краска I
A	1	2	6
B	2	1	8

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску T более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны 3000 ден. ед. для краски T и 2000 ден. ед. для краски I. Какое количество краски каждого вида должны производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Решение:

Сформулируем экономическо-математическую модель задачи. Обозначим через x₁ количество краски для наружных работ (в тоннах), x₂ – количество краски для внутренних работ (в тоннах). Необходимо максимизировать доход от реализации краски:

maxf(x) = 3000x₁ + 2000x₂ ,

при ограничениях

x₁ + 2x₂ ≤ 6

2x₁ + x₂ ≤ 8

x₂ – x₁ ≤ 1

x₂ ≤ 2

x₁ , x₂ ≥ 0

Полученная задача – задача линейно программирования. Построим ОДР задачи.

Прямые ограничения означают, что область решений будет лежать в первой четверти Декартовой системы координат.

Функциональные ограничения (неравенства) определяют область, являющуюся пересечением полуплоскостей с граничными прямыми:

I. x₁ + 2x₂ = 6

II. 2x₁ + x₂ = 8

III. x₂ – x₁ = 1

IV. x₂ = 2

Пересечение указанных полуплоскостей в первой четверти представляет собой полуплоскость - заштрихованная общая область для всех ограничений задачи ОДР.

1. Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину Ñ(3, 2) с началом координат O (0, 0).

2. Построим некоторую линию уровня 3000x₁ + 2000x₂ = a. Пусть, например, a = 12666,67. На рисунке такой линии уровня отвечает прямая OX, перпендикулярная вектор - градиенту.

3. При максимизации ЦФ необходимо перемещать линию уровня OX в направлении вектор - градиента, а при минимизации – в противоположном направлении.

Максимум функции будет находиться в точке пересечения прямых x₁ + 2x₂ = 6 и 2x₁ + x₂ = 8. Таким образом, максимума функции (12666,67) достигается при x₁ = 10/3, x₂ = 4/3. Если решать задачу на минимум, то минимум функции будет равен 0, так как функция ограничена снизу осями Ox1 и Ox2.

Задача 2.5

На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

Вид ресурсов	Нормы расхода ресурсов на ед. продукции			Запасы ресурсов
	I вид	II вид	III вид
I	1	4	3	200
II	1	1	2	80
III	1	1	2	140
Цена изделия	40	60	80

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теоремы двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья на 18 единиц;
• оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.

Решение:

1. Обозначим через x₁ , x₂ , x₃ , x₄ – количество четырех видов продукции соответственно и запишем математическую модель задачи критерию «максимум стоимости»:

max (40x₁ + 60x₂ + 80x₃ )

x₁ + 4x₂ + 3x₃ ≤ 200

x₁

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать