Основные определения теории надежности

Важнейшим эксплуатационным показателем качества системы является надежность. Недостаточно высокий уровень, которой приводит к снижению эффективности систем и ошибочным действиям в решении задач. Надежность систем взаимосвязана как с техническими, так и с экономическими требованиями. Надежность характеризует ожидаемое поведение системы в смысле отказа или кратковременная ошибка ее функционирования в заданном интервале времени. Отказ заключается в потере работоспособности, которая м.б. восстановлена только путем внешнего вмешательства.
Случайная ошибка функционирования (сбой) проявляется в кратковременном случайном нарушении выполнения к.л. функции. Если нарушение носит систематический характер, то имеет место устойчивый отказ.
Для количественных оценок надежности используют различные характеристики и параметры, относящиеся к событиям как появление отказа или случайной ошибки функционирования, что позволяет предупредить или устранить их.
Важнейшими из характеристик являются:
- среднее время наработки до отказа;
- готовность аппаратуры;
- вероятность безотказной работы (в течении заданного времени и в заданном режиме);
- частота отказов.
Надежность прибора или системы можно прогнозировать рассчитав ее заранее на этапе проектирования этих систем. Методика расчета основана на знании показателей надежности отдельных компонентов с учетом структуры, принципа и условий эксплуатации системы.
Полученные оценки являются вероятностными, т.е. показатели надежности компонентов оцениваются статистически по результатам их испытаний или эксплуатации.
Законы распределения случайной величины (СВ) и их события.
СВ – величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее не известно какое именно. СВ м.б. дискретной и непрерывной.
Закон распределения СВ – соотношение, устанавливающее связь м/ значениями СВ и их вероятностями. Для характеристики СВ используется вероятность того, что СВ X меньше текущей переменной x.
Функция распределения (ФР) СВ (интегральный закон распределения)
F(x) = p (X < x)
Плотность распределения (ПР) непрерывной СВ (дифференциальный закон распределения) это производная от ФР
f(x) = dF(x) / dx.
Свойства ПР:


В теории надежности за СВ обычно принимают время работы системы (это время до возникновения отказа). В этом случае ФР:
F(t) = P (t < tзад ) = Q(t).
ПР: f(t) = dQ(t) / dt.
Вероятность безотказной работы за время t:
P(t) = 1 – Q(t).
Интенсивность отказа (условная плотность вероятности отказов) – это отношение ПР f(x) к вероятности безотказной работы P(t):
l(t) = f(t) / P(t).
В теории надежности наибольшее распространение получили законы распределения СВ f(t):
Для дискретной СВ – биноминальный, Пуассона.
Для непрерывной СВ – экспоненциальный, нормальный, гамма, Вейбулла, хи квадрат, логарифмический.
Случайное событие это событие, которое в результате опыта может произойти или не произойти. Для нас случайное событие это отказы, восстановления, заявки на обслуживание…образуют случайные потоки и случайные процессы. Поток событий это последовательность событий происходящих одно за другим в какие-то промежутки времени, например отказы восстанавливаемого производства образуют поток отказов. Под их действием, потов отказов и восстановлений, система может находится в различных состояниях: полного отказа, частичного отказа и работоспособном. Переход системы из одного состояния в другое представляет собой случайный процесс.
Законы распределения, используемые в теории надежности.
Биноминальный закон распределения числа n – появления события А в m – независимых опытах (испытаниях). Если вероятность появления события А в одном испытании есть р, тогда вероятность не появления события q = 1 – p.
Если независимое число испытаний = m, тогда вероятность появления n событий будет равна: - уравнение Бернулли.
- число сочетаний из m по n. .
Свойства:
1) число событий n это целое положительное число;
2) математическое ожидание (МО) числа событий М = m*p;
3) среднеквадратическое отклонение
При увеличении числа испытаний биноминальное распределение приближается к нормальному со средним значением n/m и дисперсией p(1-p)/m.
Закон Пуассона.
вероятность возникновения случайного события n раз за время t. l - интенсивность случайного события.
Свойства:
1) МО числа событий за время t: М = l*t.
2) среднеквадратическое отклонение числа событий , для данного распределения М = D.
Распределение Пуассона получается из биноминального, если число испытаний m неограниченно возрастает, а МО числа событий остается постоянным.
Закон Пуассона используется в том случае когда необходимо определить вероятность того что за данное время произойдет 1,2,3…отказов.
Экспоненциальный закон.
где P(x) это вероятность того что СВ X имеет значение большее x.
В частном случае, когда за СВ принимается время работы системы tвероятность т ого что система на протяжении времени t будет находится в работоспособном состоянии будем равно: .
где l - интенсивность отказов системы. l– const.
Это выражение можно получить из закона Пуассона, если число отказов n = 0.
Вероятность отказа за время tм.б. записана
Q(t) = 1 – P(t) = 1 -
Плотность вероятности отказов
F(t) = dQ / dt = l
Среднее время работы до возникновения отказа
Дисперсия – это время работы до возникновения отказа
D(t) =
Среднеквадратичное отклонение
Равенство и Т1 является характерным признаком экспоненциального распределения.
g распределение.
Если отказ устройства возникает тогда когда произойдет не менее k отказов его элементов, а отказы элементов подчинены экспоненциальному закону с параметром l0 . Плотность вероятности отказа устройства:
где l0 исходная интенсивность отказов (ИО) элементов устройства, отказ которого вызывается отказом его элементов. Этому распределению подчиняется время работы резервных устройств и систем.
Вероятность k и более отказов, т.е. вероятность отказа устройства:
Плотность вероятности отказа системы за время t:
Среднее время работы системы до отказа:
ИО устройства:
Вероятность безотказного состояния системы:
При k = 1 g распределение совпадает с экспоненциальным.
Распределение Вейбула.
Плотность вероятности:
Вероятность отсутствия отказа за время t:
ИО:
a и l0 - параметры распределения, при a = 1 функция Вейбула совпадает cэкспоненциальным распределением. При a 1 – монотонно возрастающей.
Распределение Вейбула применяется для отказов устройства состоящего из последовательно соединенных дублированных элементов.
Нормальное распределение (НР).
СВ X возникает тогда когда x зависит от большого числа однородных по своему влиянию случайных факторов, причем влияние каждого из факторов по сравнению с влиянием совокупности остальных незначительно.
Плотность вероятности отказа НР:
Вероятность отказа за время t:
Для удобства определения F(t) составлены таблицы. Значение функции распределения определяется формулой: F(t) = 0.5 + Ф(u) = Q(t)
U = (t – T)/
Вероятность отсутствия отказа за время t:
P(t) = 1 – Q(t) = 1 – (0.5 + Ф(u)) = 0.5 - Ф(u)
ИО монотонно возрастает и постепенно начинает приближаться к асимптоте:
y = (t – T)/
c 2 – распределение.
Если CBt распределена по НЗ с Т = 0 и = 1, то параметр X = будет являться СВ с плотностью распределения:
где k- число степеней свободы; Г(k/2) – это g функция.
С увеличением kc2 распределение приближается в НР.
g функция от k/2 это
НР находит широкое применение в теории надежности. Например установлено, что описание удвоенного значения наработки изделия, отнесенное к среднему времени безотказной работы имеет c2 распределение, если время до отказа - СВ с экспоненциальным распределением.

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать полную версию