Разработка программного обеспечения для нахождения корней биквадратного уравнения

Содержание

Введение

1 Постановка задачи

2 Математические и алгоритмические основы решения задачи

3 Программная реализация решения задачи

4 Пример выполнения программы

Заключение

Список использованных источников и литературы

Введение

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. "Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37...", - поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений. Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений. Алгебраическое уравнение четвертой степени.

,

где a, b, c – некоторые действительные числа, называется биквадратным уравнением. Заменой уравнение сводится к квадратному уравнению с последующим решением двух двучленных уравнений и ( и - корни соответствующего квадратного уравнения).

Если и , то биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня:

,

.

Если , то биквадратное уравнение имеет два действительных корня и мнимых сопряженных корня:

.

Если и , то биквадратное уравнение имеет четыре чисто мнимых попарно сопряженных корня:

Случай , аналогичен разобранному.

,

Целью данной курсовой работы является разработка программного обеспечения для нахождения корней биквадратного уравнения.

1. Постановка задачи

Биквадратным называется уравнение вида ax⁴ +bx² +c=0, где a 0. Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив x² = y, придем к квадратному уравнению ay² +by+c=0.

Требуется разработать программное обеспечение для нахождения корней биквадратного уравнения.

Пример 1.

Решить уравнение

x⁴ +4x² -21=0.

Решение:

Положив x² = y, получим квадратное уравнение y² +4y -21=0, откуда находим y₁ = -7, y₂ =3.

Теперь задача сводится к решению уравнений x² = -7, x² =3. Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим

,

которые являются корнями заданного биквадратного уравнения..

Ответ: .

Пример 2.

Решить биквадратное уравнение.

2х⁴ – 5х² +2=0

Решение:

Обозначим х² =t. Тогда х⁴ =(х² )² =t² и уравнение примет вид:

2t² –5t+2=0

D=(–5)2 – 4(2)(2)=25 – 16 = 9 > 0,

t₁ =(5+3) / 4=2 и t₂ =(5 – 3) / 4=1 / 2.

Так как t=x² , то корни исходного уравнения найдем в результате решения уравнений

х₁ =2 и х₂ =1/2.

Имеем

Ответ:

2. Математические и алгоритмические основы решения задачи

Рассмотрим биквадратное уравнение

ax⁴ + bx² + c = 0.

Введем подстановку

y = x² .

Получим квадратное уравнение общего вида

ay² + by + c = 0.

Таким образом, для решения биквадратного уравнения необходимо помнить, что оно свелось к системе двух уравнений второй степени:

y = x²

ay² + by + c = 0.

Решим квадратное уравнение относительно переменной "y". Получим три возможных варианта решений:

дискриминант отрицателен: уравнение не имеет действительных решений;

дискриминант не отрицателен и равен нулю: уравнение имеет один двукратный корень;

дискриминант не отрицателен и равен нулю: уравнение имеет два различных корня.

В первом случае, когда дискриминант квадратног

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать