Програма розв’язання звичайних диференціальних рівнянь однокроковими методами

Зміст

1. Короткі теоретичні відомості

2. Розробка алгоритму розв’язання задачі

3. Результати обчислень і оцінка похибки

Висновки

Література

Додаток

1. Короткі теоретичні відомості

Часто задачі техніки і природознавства математично зводяться до відшукання розв’язку певного диференціального рівняння (або системи таких рівнянь), який задовольняє певні початкові умови (задачі Коші). Про інтегрувати таке рівняння в скінченому вигляді вдається досить рідко. при цьому дістають здебільшого такий вигляд, до якого шукана функція входить неявно, а тому користуватись ним не зручно.

На практиці застосовують здебільшого наближене інтегрування диференціальних рівнянь. Воно дає змогу знайти наближений розв’язок задачі Коші або у вигляді певного аналітичного виразу (наприклад, ряду Тейлора), або у вигляді деякої таблиці значень.

Розглянемо окремі методи чисельного розв’язування задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку, розв’язаного відносно похідної. Наближений розв’язок задачі Коші записують у вигляді певної таблиці значень.

Задача Коші полягає в тому, щоб знайти розв’язок y(x) диференціального рівняння

, (1.1)

який задовольняє початкову умову

(1.2)

Геометрично це означає, що треба знайти ту інтегральну криву y(x) рівняння (1.1), яка проходить через точку (x₀ ,y₀ ).

Задача Коші (1.1) – (1.2) має єдиний розв’язок, наприклад при виконанні умови такої теореми.

Теорема (Пікара). Якщо функція f(x,y) двох змінних х і у неперервна в замкнутому прямокутнику

з центром у точці (х_0, у₀ ) і задовольняє в ньому умову Лівшиця по змінній у, тобто існує число K >0, яке не залежить від х і у, таке, що

(1.3)

для будь-яких точок (х₁ ,у₁ ) і (х₂ ,у₂ ) , то існує єдина диференційована функція , яка є розв’язком диференціального рівняння (1.1). Цей розв’язок визначений і неперервно диференційований принаймні на відрізку [x₀ -h; x₀ +h], де

(1.4)

Розглянемо так звані однокрокові чисельні методи розв’язування задачі Коші (1.1)-(1.2), в яких, щоб знайти наближений розв’язок у точці х_k+1 =x_k +h , досить знайти її розвязок в точці х_{k .}

І оскільки розв’язок задачі в точці х₀ відомий з початкових умов, то ці методи дають змогу послідовно обчислити значення розв’язку в наступних точках х₁ =х₀ +h, x₂ =x₁ +h,...

Окремим представником однокрокових чисельних методів є методи типу Ейлера. Надалі припускатимемо, що функція f(x,y) рівняння (1.1) задовольняє умови теореми Пікара [1].

Метод Ейлера

Нехай на відрізку [x₀ ,x₀ +l] треба знайти чисельний розв’язок задачі Коші(1.1)-(1.2). Для цього відрізок [x₀ ,x₀ +l] поділимо на n (для простоти) рівних частин точками

х₀ , х₁ , х₂ ,..., х_n =x₀ +l, де х_k =x₀ +kh (k=0,1,2,...,n), .

Величину h називають кроком чисельного інтегрування диференціального рівняння (1.1).

Розв’язати задачу (1.1)-(1.2) чисельно – це означає для заданої послідовності х₀ , х₁ ,…, х_n =b=x₀ +l незалежної змінної х та числа у₀ знайти числову послідовність у₁ , у₂ ,…, у_n , тобто для заданої послідовності значень незалежної змінної x_k =x₀ +kh (k=0, 1, ..., n) побудувати таблицю наближених значень шуканого розв’язку задачі Коші.

Якщо наближений розв’язок задачі (1.1)-(1.2) в точці х_k відомий, то, проінтегрувавши рівняння (1.1) в межах від х_k до х_k+1 , знайдемо його розв’язок в точці х_k+1 за формулою:

(1.5)

Саме ця формула є вихідною для побудови багатьох чисельних методів розв’язування задачі (1.1) - (1.2).Якщо інтеграл у правій частині формули (1.5) обчислити за формулою лівих прямокутників, то знайдемо

(1.6)

Відкинувши в цій рівності доданок порядку О(h² ), дістанемо розрахункову формулу:

(1.7)

яку називають формулою Ейлера. у_k i y(x_k ) – відповідно наближене і точне значення шуканого розв’язку задачі (1.1) і (1.2) у точці х_k . Різницю у_k -y(x_k ) називають похибкою наближеного значення у_k у точці x_k.

Оскільки дотична до графіка функція у(х) в точці (x_k ,y_k ) матиме вигляд:

або

Звідси для ординати точки у_k+1 перетину цієї дотичної з прямою х=х_k+1 дістанем формулу (1.7), а це означає, що на кожному з відрізків [x_k ,x_k+1 ], (k=0, 1, 2, ..., n-1 ) інтегральна крива наближено замінюється відрізком дотичної до неї в точці (x_k ,y_k ). Якщо в площині О_ху позначити точки М_k (x_k ;y_k ), k=0, 1, 2,...,n і сполучити їх

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать