Розвязок інтеграла метоном Нютона Котеса та Сімсона

Зміст
Вступ
1 Огляд та варіантний аналіз чисельних методів моделювання
1.1 Основні поняття і визначення
1.2 Класифікація методів рішення поставленої задачі
1.3 Опис методів моделювання на ЕОМ
1.3.1. Метод прямокутників
1.3.2 Метод трапецій
1.3.3 Метод Сімпсона
1.3.4 Метод Ньютона-Котеса
1.3.5 Метод Чебишева
1.3.6 Метод Гаусса
1.4 Уточнена постановка задачі
2 Розробка алгоритмів моделювання на ЕОМ
2.1 Планування вхідних та вихідних даних
2.2 Аналіз задачі, які вирішуються при дослідженні об’єкта на ЕОМ
2.3 Описовий алгоритм головної програми
2.4 Схема алгоритму головної програми
2.5 Алгоритми методів
2.5.1 Алгоритм методу Сімпсона
2.5.2 Алгоритм методу Нютона-Котеса
2.5.3 Алгоритм методу Чебишева
2.6 Опис основних функцій
2.7 Структура комплексу програм для дослідження об’єкта на ЕОМ
3 Планування експепементальних досліджень об’єкту на ЕОМ
3.1 Класифіквція експерементів
3.2 Опис експерементальних досліджень
3.3 Дослідження об’єкту на ЕОМ
4 Аналіз результатів дослідження
5 Оцінка похибок отриманих результатів
6 Оцінка ефективності комплексу програм для дослідження
7 Розробка пакету документів для супроводження комплексу програм
7.1 Інструкція програмісту
7.1.1 Опис вихідного коду
7.1.2 Зміна інтегруючої функції
7.1.3 Зміна тексту допомоги
7.2 Інструкція користувачеві
7.2.1 Запуск
7.2.2 Ввод данних
7.2.3 Перегляд результатів
7.2.4 Вихід з програми
Висновки
Література
Додатки
Додаток А. Технічне завдання
Додаток Б. Лістинг головної програми
Додаток В. Структура дискети

Анотація
Програмний комплекс, що розроблено в даній курсовій роботі створений для знаходження визначеного інтегралу. Програмний комплекс має сучасне багатоієрархічне меню, допомогу. За допомогою даної програми можна виконувати різноманітні визначені інтеграли, від зовсім простих, до досить складних функцій. Результати видаються у вигляді таблиць, що досить зручно, а також можна виводити результати обчислення всіма методами відразу, що дуже зручно при порівнянні методів. Цей комплекс програм розроблений для досить легкого і простого користування.

1 Огляд та варіантний аналіз чисельних методів моделювання
1.1 Основні поняття і визначення
Визначений інтеграл – чисельно рівний площі, обмеженою частиною графіка функції y = f(x), віссю Ох і ординатами f(a) і f(b). Якщо крива перетинає вісь Ох один або декілька разів всередині інтервалу, то інтеграл чисельно рівний алгебраїчній сумі площ, що знаходяться по кожну сторону вісі Ох[6].
Чисельне інтегрування - являє собою стійкий процес і в протиставлення чисельному диференціюванню зменшує дію похибок у початкових даних на кінцевий результат. В основу чисельного інтегрування покладено наближене обчислення площини під кривою, яка описується підінтегральною функцією інтеграла:
Визначений інтеграл - являє собою площину, обмежену кривою f(x), віссю Х та прямими x=a; x=b[6].
1.2 Класифікація методів рішення поставленої задачі
Інженеру часто приходиться обчислювати визначений інтеграл чисельними методами. Це буває у тих випадках, коли або не вдається виразити інтеграл у замкненій формі, або вона настільки складна, що простіше скористатися чисельним інтегруванням.
Отже основною задачею є обчислення інтегралу виду:

де a і b - нижня та верхня межа інтегрування; f(x) - неперервна функція, відносно якої шукають інтеграл, на відрізку [a,b].
Суть більшості методів обчислення визначених інтегралів заключається в заміні підінтегральної функції f(x) апроксимуючою функцією f(х), для якої можна легко записати первісну в елементарних функціях, тобто
де S - наближене значення інтеграла; R - похибка обчислення інтеграла[2].
Методи чисельного інтегрування, що найбільш часто використовуються на практиці можна згрупувати в залежності від способу апроксимації підінтегральної функції. Дамо коротку характеристику груп найбільш розповсюджених методів.
Методи Ньютона-Котеса засновані на поліноміальній апроксимації підінтегральної функції. Методи цього класу відрізняються один від одного степенем використовуваного полінома, від якого залежить кількість вузлів, де необхідно обчислити функцію f(x). Алгоритми методів прості і легко піддаються програмній реалізації[1].
Сплайнові методи базуються на апроксимації підінтегральної функції сплайнами, що являють собою кусочний поліном. Методи розрізняють по типу вибраних сплайнів. Такі методи є сенс використовувати в задачах, де алгоритми сплайнової апроксимації застосовуються для обробки даних.
В методах найвищої алгебраїчної точності (методи Гаусса-Кристоффеля та інші) використовують не рівновіддалені вузли, розташовані по алгоритму, що забезпечує мінімальну похибку інтегрування для найбільш складних функцій при заданій кількості вузлів. Методи розрізняються способами вибору вузлів і широко використовуються для інтегрування, в тому числі вони можуть бути застосовані і для невласних інтегралів[3].
В методах Монте-Карло вузли вибираються за допомогою датчика випадкових чисел, відповідь носить ймовірний характер. Методи виявляються ефективними при обчисленні великої кратності.
В клас спеціальних групуються методи, алгоритми яких розробляються на основі обліку особливостей конкретних підінтегральних функцій, що дозволяє суттєво скоротити час і зменшити похибку обчислення інтегралів.
1.3 Опис методів моделювання на ЕОМ
Існують такі методи як: метод прямокутників, трапецій, Сімпсона, Ньютона-Котеса, Чебишева, Гаусса. Кожен з цих методів має свої переваги та недоліки. Так наприклад метод прямокутників досить наглядний, простий для розуміння та програмування. Він є так би мовити навчальним методом і необхідний для самого розуміння математичної моделі знаходження визначеного інтегралу. Для інженерних розрахунків знадобляться більш точні методи, наприклад методи Чебишева чи Гаусса[2].
Розглянемо кожний з них більш детально.
1.3.1 Метод прямокутників

Найпростішим методом наближеного обчислення інтеграла є метод прямокутників, геометрична інтерпретація якого зводиться до знаходження визначеного інтегралу як суми площ N прямокутників (з висотою f(x) та основою

отриманих розділень відрізка [а.в] на N рівних частин.(рис.1.1, рис1.2), до того ж якщо розділити на прямокутники зліва на право (див. рис 1.1), то отримаємо формулу лівих прямокутників:
якщо ж розділити на N прямокутників справа наліво (див. рис.1.2), то отримаємо формулу правих прямокутників:
f(x) f(x)
Si
f(Xi)
f(xi)
f(Xn)
Рис.1.1 Рис 1.2
1.3.2 Метод трапецій
Суть методу трапецій полягає в тому, що інтеграл обчислюється по-іншому, відрізок інтегрування поділяється на N рівних відрізків, всередині яких підінтегральна крива f(x) замінюєт ься кусково-лінійною функцією j(х), отриманою стягуванням ординат N відрізків хордами.


f(x)
f(x) j(х)
f(x)
рис.1.3рис1.4
Обчислення визначеного інлдюжегтеграла зводиться до знаходження суми площ Si прямокутних прапецій (рисю1.3, рис.1.4.) N.
Площа кожної такої трапеції (рис.1.4) визначається як
Отже, формула трапеції
Похибка обчислення інтеграла за формулою трапеції оцінюється як
1.3.3 Метод Сімпсона (метод парабол або криволінійних трапецій)
Цей метод близький до методу трапецій у тій частині, що інтегрування проводиться шляхом поділу відрізка інтегрування[а,в] на множину відрізкіав(N пар відрізків). Однак, з метою збільшення точності наближеного інтегрування на кожному відрізку підінтегральної функції f(x) замінюють квадратичною параболою j(х) (рис 1.5, рис.1.6), обчислення визначеного інтеграла зводиться до обчислення суми N криволінійних трапецій
Площа кожної такої такої трапеції (див. рис.1.5.) визначається за формулою Сімпсона:
Тобто

Рисунок 1.5Рисунок 1.6
Тоді чичельне значення визначеного інтеграла на відрізку [а,в] дорівнюватиме сумі інтегралів, тобто
або
де
1.3.4 Метод Ньютона-Котеса
Цей метод засновано на апроксимації однієї із сторін криволінійної трапеції(дивюрис.1.5), яка отримується поділом відрізка [а,в] на N рівних частин, многочленами вищих порядків, також як у методі трапецій використовуєься лінійна апроксимація (заміна однієї із сторін трапеції прямою лінією), а в методі Сімпсона – апроксимація параболою.
Основна формула методу
Де Hi – коефіцієнти Ньютона-Котеса. Ці коефіцієнти не залежать від вигляду f(x) , а є функцією тільки N (кількість вузлів інтерполяції). Таким чином, коефіцієнти Ньютона-Котеса можна обчислити раніше для різного числа вузлів та звести в таблицю1.1.
Легко можна показати , що методи трапецій та Сімпсона є частинними випадками методу Ньютона-Котеса[1].
Коефіцієнти Ньютона-Котеса Таб.1.1
N=1 Ho=H1=1/2
N=2 Ho=H2=1/6, H1=2/3
N=3 Ho=H3=1/8, H1=H2=3/8
N=4 Ho=H4=7/90, H1=H3=16/45, H2=2/15
N=5 Ho=H5=19/288, H1=H4=25/96, H2=H3=25/144
N=6 Ho=H6=41/840, h1=H5=9/35, H2=H4=9/280, H3=34/105
N=7 Ho=H7=751/17280,H1=H6=3577/17280, H2=H5=1323/17280, H3=H4=2989/17280
1.3.5 Метод Чебишева
Метод Чебишева грунтується на обчисленні інтеграла за значеннями функції Yi=f(Xi),(i=1,2,…,N) у зафіксованих вузлах інтерполяції Х1, Х2, …, Хn (де h=const). Коефіцієнти Ньютона-Котеса Hi (i=1,N) не залежать від значень функції у вузлах інтерполяції. П.Л. Чебишев запропонував для обчислення визначених інтегралів використати формулу
в якій квадратурні коефіцієнти Сі (і=1,2,…,N) зафіксовані, а абсциси Хі (і=1,2,…,N) підлягають визначенню.
Для простоти обчислень необхідно вибрати С1=С2=…=Сn. Розглянемо спочатку частинний випадок, коли межі інтегрування дорівнюють –1 та 1. Тоді формула 1.10 набере вигляду
Де квадратурні коефіцієнти Сn та абсциси Хі підлягають визначенню[2].
Коефіцієнти та вузли інтерполяції Хі визначимо із умови, що ця рівність є точною для випадку, коли f(х) многочлен вигляду

Підставимо многочлен1.12 у ліву частину 1.11 та проінтегруємо
У праву частину рівності 1.11 підставимо значення многочлена 1.12 у вузлах Х1, Х2, …,Хn:
Тоді рівність1.13 набере вигляду


Отримана рівність повинна виконуватися за будь-яких значень а0,а1,…,аn і таким чином, порівнюючи коефіцієнти аі в правій лівій частинах 1.15 знаходимо, що n*Cn=1, звідки
i, крім цього,


Підставляючи знайдене для Сn виразу в співвідношення 1.13 отримаємо формулу Чебишеваде точки Х1,Х2,…Хn визначаються із системи рівнянь 1.17.
Значення Х1,…,Хn для різних n обчислюються раніше та зводяться в таблицю 1.2.

Таблиця 1.2
Число ординат Значення абсцис
N=2 -Х1=Х2=0.577350
N=3 -Х1=Х3=0.707107; Х2=0
N=4 -Х1=Х4=0.794654; -Х2=Х3=0.187592
N=5 -Х1=Х5=0.832498; -Х2=Х4=0.374541; Х3=0
N=6
-Х1=Х6=0.866247; -Х2=Х5=0.422519;
-Х3=Х4=0.266635
N=7
-Х1=Х7=0.883862; -Х2=Х6=0.529657;
-Х3=Х5=0.323912; Х4=0

Коли межі даного інтеграла відрізняються від –1 та 1 , формула Чебишева матиме вигляд

де
а Хі мають вказані в таблиці значення.

1.3.6 Метод Гауса

Для отримання підвищеної точності за чисельним інтегруванням користуються формулою Гаусса
в якій не фіксуються не тільки вузли інтерполяції Х1, Х2,…,Хn, а й квадратурні коефіцієнти С1,…,Сn. При цьому Zn невідомих величин Х1,Х2,…,Хn ; С1,…,Сn визначається із умови, що формула є точною у випадку будь-якого многочлена 2n-1[1].
Таким чином, для будь-якого многочлена (2n-1)-й степені


повинна виконуватися рівність:
Многочлен f(x), степені якого рівні 2n-1 , можна показати у вигляді
f(x)=F(x)Q(x)+R(x),(1.24)
де F(x)-шуканий многочлен n-ї степені, а Q(x) та R(X)- відповідно частинне від ділення f(x) на F(x) та залишок від цього ділення, степені многочленів Q(x) та R(x) не перевищують (2n-1).

Вираз для F(x) можна записати так:
тут величини Х1,…,Хn- шукані абсциси формули Гаусса, а А1,А2,…,Аn- постійні.
Оскільки шукана функція F(x) у вузлах Х1,…,Хn перетворюється на нуль, то



Тоді рівність 1.23 набере вигляду
Але для многочлена R(x) степені не вище n-1 також повинна бути точна рівність:
Bіднімаючи 1.28 1.27 ,отримаємо

Із останнього відношення можна визначити шукану функцію F(x). Оскільки рівність 1.29 справедлива для якого-небудь многочлена Q(x) степені n-1 , тобто для многочлена вигляду

то вона при будь-яких коефіцієнтах

отже, маємо таку систему рівнянь(1.31)


Підставляючи сюди вирази для F(x) із формули 1.25 та інтегруючи, отримаємо для визначення коефіцієнтів систему n рівнянь(1.32)
з яких видно, що А1=А3=А5=А7=…=0 та, отже, шуканий многочлен має вигляд
Відмітимо, що при парному n корені рівняння F(x)=0 попарно рівні за абсолютним значенням, але протилежні за знаком, а при непарному n коренем є також і Х=0[1].

Визначивши із системи 1.32 коефіцієнти Аі (і=1,2,…,n), складемо рівняння F(x)=0 та знайдемо його корені Х1,…,Хn, тобто шукані абсциси формули Гаусса, а потім обчислимо коефіцієнти Сі (і=1,2,…,n) за формулою

1.4 Уточнена постановка задачі
Проект дослідження функції розробляється для дослідження заданої підінтегральної функції.
В даному проекті будуть реалізовуватися наступні функції:
1. Дослідження заданої функції різними методами (за умовою завдання);
2. Зміна кроку дослідження функції;
3. Зміна меж дослідження функції;
4. Вивід результатів;
5. Тестування програми на фнкціях, які легко обраховуються;
5. Вивід допомоги про програму та автора.

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать полную версию