Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин

П лан
Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин
Обчислення площі плоскої фігури
Обчислення площі в декартових координатах
Площа криволінійного сектора в полярних координатах
ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА
1. Площа плоскої фігури
1.1. Обчислення площі в декартових координатах
В п.9.2. мова йшла про те, коли розглядається площа криволінійної трапеції, обмеженої віссю кривою причому на відрізку може бути як додатною, так і від’ємною, то площа такої криволінійної трапеції обчислюється за формулою
(10.1)
Нехай у прямокутній системі координат фігура (рис.10.1) обмежена кривими
Виділимо у фігурі смужку шириною . Її довжина дорівнюватиме . Тоді площа смужки .
Звідси Отже,
(10.2)
Рис.10.1 Рис.10.2
Обчислимо тепер площу криволінійної трапеції у випадку, коли крива задана рівняннями в параметричній формі
(10.3)
Нехай рівняння (10.3) визначають деяку функцію на відрізку а тому площа криволінійної трапеції може бути обчислена за формулою
Зробивши заміну в цьому інтегралі і враховуючи, що одержимо
(10.4)
1.2. Площа криволінійного сектора в полярних координатах
Нехай криві, що обмежують фігуру, задані рівнянням в полярній системі координат і відрізками двох полярних радіусів (рис. 10.2) .Знайдемо площу фігури якщо: ,
У фігурі виділимо сектор з центральним кутом Вважатимемо, що дуги, які обмежують сектор , є дугами кіл радіусів . Очевидно, що площа сектора між дугами i дорівнює Інтегруючи, одержимо
(10.5)
Приклад 1.
Знайти площу фігури, обмеженої гіперболою , віссю і прямою, яка з’єднує точку , що лежить на гіперболі, з початком координат.
Р о з в ’ я з о к. З рівняння гіперболи маємо
Щоб знайти площу заштрихованої на рис.10.3 фігури, досить знайти площу фігури , а потім від площі трикутника відняти площу фігури .
Отже, .
Найкращим методом для обчислення цього інтеграла є інтегрування частинами. В результаті інтегрування дістанемо
Оскільки
то .
Цікаво, що цю площу можна записати у вигляді
Рис.10.3 Рис.10.4
,
де - функція, обернена відносно функції .
Пропонується переконатися в цьому самостійно.
Приклад 2. Знайти площу фігури, обмеженої кривою.

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать полную версию