Система хищник-жертва: экологические и математические аспекты

Рис.1:      Фазовый портрет модели               Рис.2:  Фурье –образ «взаимодействия» между  хищником  и

                 Вольтерры. (1)                                             жертвой  в системе (2).  Расстояние   между  линиями

                                                                                                         равно элементорной частоте. Симметрия спектра                                                                                                                                  относительно вертикальной оси  говорит о                                                                                                           вещественности исходной функции.                      

  Рис.1а: То же, что на рис.1,  но при  других  начальных  условиях.  Мы видим, что фокус является                         единственным положением равновесия в данной системе, что нежелательно с точки зрения          применения  рассмотрения к реальным экосистемам.

                Рис.3:  Фазовый портрет системы (2) для конкретного набора параметров. Чётко виден

                           предельный цикл (жирная линия в левой части рисунка) , на который   выходят   

                           все фазовые траектории,  несмотря  на то,  что  некоторые  из  них испытывают   

                           довольно большие отклонения от него.

                Рис.4:   «Внутренность» предельного цикла– разные траектории наматываются на него-

                           цикл абсолютно устойчив.  Значения параметров те же,  что и дли рис.3. Для  1

                                нач. условия есть  (1.4;1.4).  Далее  обе координаты увеличиваются на 0.2 на шаге.                                                                                                                                   

 

  Рис.5:  Поведение системы при различных значениях параметра b при всех остальных неизменных.        Видно, что поведение системы качественно не меняется. Цифры в скобках – нач. условия,  а

              Цифры сверху – значения  b.

  Рис.6:  Фазовый портрет при q=0.87. Видно, что предельный цикл  качественно ничем не отличается                     от   предыдущих случаев. Нач. условия: (0.8;0.8) .             

 Рис.7: Изменение вида цикла при изменении нач. условий (в скобках)  и при d=0.01.

  Рис.8:  Фазовый портрет системы при больших d (цифры  на  рис.). Нач. условия везде (1;1).         

   Рис.9:  Вид  фазовой плоскости системы при d=0.05 при  разных  нач. условиях (на рис.) ; видна

                периодическая зависимоть вида плоскости от них.