Многомерные задачи оптимизации

Содержание:

Введение. 3

1. Основные понятия. 4

1.1 Определения. 4

1.2 Задачи оптимизации. 5

2. Одномерная оптимизация. 6

2.1 Задачи па экстремум. 6

2.2 Методы поиска. 7

2.3 Метод золотого сечения. 8

2.4 Метод Ньютона. 11

3. Многомерные задачи оптимизации. 13

3.1 Минимум функции нескольких переменных. 13

3.2 Метод покоординатного спуска. 14

3.3 Метод градиентного спуска. 14

4. Задачи с ограничениями. 16

4.1 Линейное Программирование. 16

4.2 Геометрический метод. 17

4.3 Задача о ресурсах. 19

Список Литературы

1. Основные понятия

1.1 Визначення.

Під оптимізацією розуміють процесвибору найкращого варіантуз усіх можливих. З точки зору інженерних розрахунківметоди оптимізації дозволяють найкращий варіант конструкції, найкращий розподіл ресурсів та інше.

В процесі розв’язку задачі оптимізації,як звичай,необхідно знайти оптимальне значеннядеяких параметрів,які визначають дану задачу.При розвязку інженерних задачїх прийнято називати проектн ими параметрами , а в задачах економікиїх называютьпараметрами плана . В якості проектних параметрів можуть бути,зокрема,значення лінійних розмірів обєкта, маси, температурий інше число n проектних параметрів x₁ ,x₂ ,…,x_n які характеризують розмірність ( й степінь складності) задачі оптимізації.

Вибір оптимального рішення абопорівняння двох альтернативних розв’язків проводиться за допомогою деякої залежної величини (функції),обумовленої проектними параметрами.Ця велечина називаєтьсяцвілевою функцією (абокритерієм якості).В процесі розв’язку задачі оптимізації повинні бути знайдені такі значення проектних параметрів, при яких цілева функціямає мінімум (або максимум). Таким чином, ц ілева ф ункц ія – це глобальний критерій оптимальності в математичих моделях, за допомогою яких описуються инженерніабо экономичні задачі.

Цілеву функцію можно записатиу вигляді:

U=F(x₁ , x₂ ,…,x_n ). (1.1)

Прикладами цвілевої функції,які зустрічаються у інженерних та економічних розрахунках,є міцність й маса конструкції,потужність установки, обєм випуску продукції,вартість перевезеньвантажута шнше.

У випадку одного проектного параметра цілева функція (1.1) є функцією однієї змінної,аїї графік - деяка крива на площині.Прицілевафункціяє функцією двохзмінних, її графік — поверхня у тривимірному просторі.

Слід зазначит, що цілева функціяне завжди може бутипредставленау вигляді формули.Іноді вона може прийматитільки деякі значення,задаватися у вигляді таблиціта інше.В усіх випадках вона повинна бути однозначною функцією проектних параметрів.

Цілевих функцій може бути декілька.Наприклад,при проектуванні виробівмашино- будівництваодночасно потребується забезпечитимаксимальну надійність, мінімальну матеріалоємкість,максимальний корисний об’єм (або вантажопідємність).Деякі цілеві функціїможуть здатися несумісними.В таких випадкахнеобхідно вводитипріоритет тієї чи іншої цвілевої функції.

1.2 Задачі оптимізації.

Можно виділити два типи задач оптимізації — безумовні та умовні. Безу мовна задача оптимізаціїскладаєтьсяу відшуканні максимумуабо мінімумудійсної функції (1.1) при дійсних зміннихйвизначеннізначеньаргументів на деякіймножиніσ n-мірногопростору. Звичайно розглядаютьсязадачі мінімізації, що до них легкозводятьсяі задачінапошукмаксимумушляхомзамінизнакацільовоїфункціїнапротилежний. Условные задачи оптимизации , или задачи с ограничениями, это такие, при формулировке которых задаются некоторые условия (ограничения) на множестве . Эти ограничения задаются совокупностью некоторых функций, удовлетворяющих уравнениям или неравенствам.

Ограничения-равенства выражают зависимость между, проектными параметрами, которая должна учитываться при нахождении решения. Эти ограничения отражают законы природы, наличие ресурсов т. п.

в результате ограничений область проектирования , определяемая всеми проектными параметрами, может быть существенно уменьшена в соответствии с физической сущностью задачи.

При наличие ограничений оптимальное решение может соответствовать либо локальному экстремуму в нутрии области проектирования, либо значению целевой функции на границе области. Если ограничения отсутствуют то ищется оптимальное решение на всей области проектирования, то есть глобальный экстремум.

2.1 Задачи па экстремум.

Одномерная задача оптимизации в общем случае формулируется следующим образом. Найти наименьшее (или наибольшее) значение целевой функции y=х, заданной на множестве σ, и определить значение проектного параметра х Є σ, при котором целевая функция принимает экстремальное значение. Существование решения поставленной задачи вытекает из следующей теоремы.

Методы поиска экстремума функции f (x ) (одномерной оптимизации)

К числу наиболее популярных численных методов одномерной оптимизации относятся: метод Больцано (деления интервала пополам), метод «золотого сечения» и пошаговый метод. Первые два метода ориентированы на поиск ext f (x ) внутри фиксированного интервала (а,b