Безкінечно малі функції

Безкінченно малі функції

Визначення 1. Функція f( x) називається безкінченно малою функцією (або просто безкінченно малою) в точці х=х₀ (або при х - х₀ ), якщо f( x)=0 .Аналогічно визначаються безкінечно малі функції при

Так як межа нескінченно малої функції рівна нулю , то можна дати рівносильне визначення нескнченно малої функції. Функція f ( x ) називається нескінченно малою в точці х=х₀ , якщо для любого існує , таке, що для всіх , задовільняющих нерівності , виконується нерівність і на язику послідовності: функція називається безкінечно малою в точці х=х₀ , якщо для любої зводящоїсі до х₀ послідовність являється нескінченно малою.

Теорема. Для виконання рівняння f( x)= A необхідно і достатньо, щоб функція була х - х₀ нескінченно малою при х - х₀

Бескінченно малі функції володіють такими ж свойствами, що і бескінечно малі послідовності.

Теорема. Алгебраїчна сума і проізвідєніє кінцевого числа нескінченно малих функцій при х - х₀ , а також проізвідєніє безкінечно малої функції на обмежену функцію являються нескінченно малими функціями при х - х₀ .

Нескінченно великі функції

Визначення. Функція f( x) називається безкінченно великою функцією в точці х= х₀ (або при х - х₀ ), якщо для любого існує таке, що для всіх задовольняючих нерівність , виконується нерівність .

В цьому випадку пишуть f( x)= і говорять, що функція стремиться до нескінченності при х - х₀ або, що вона має нескінченну межу в точці х = х₀ .

Якщо виконується нерівність , то пишуть f( x)= і говорять, що функція має в точці х₀ нескінченну межу, рівну .

Так наприклад, пишуть f( x)= , якщо для любого існує , таке, що для всіх , задовольняючих нерівностями , виконується нерівність .

“На язику послідовності” це визначення записується так: , якщо для любої зводящої ??? до х₀ послідовності значення аргументу х , елементи х _n який більше x₀ , відповідають послідовності значення функцій являється нескінченно великий позитивного знака.

Аналогічно визначаються нескінченно великі функції при . Так, наприклад: функція f(x) називається нескінченно великою при , якщо для любого існує таке, що для всіх задовольняючих нерівність , виконується нерівність . При цьому пишуть f(x)= . Якщо виконується нерівність , то пишуть f(x)= ( ).

На завершення покажем, що між нескінченно малими і нескінченно великими функціями існує такий же зв'язок, як і між відповідними послідовностями, функціями, зворотньо безкінечно малої, являється безкінченно вищою і наоборот.

Насправді, нехай f(x)=0 і f(x)0 при .

Докажем, що .

Задамо довільне . Так як f(х) – нескінченно мала функція в точці х₀ , то для числа 1/існує таке, що для всіх , задовільняющих нерівностям , виконується нерівність . Но тоді для тих же х виконується нерівність , т.с. - нескінченно велика функція в точці х=х₀ , що і потрібно було доказати.