Функція границя функції

Реферат на тему:

Функція, границя функції

Означення. Якщо кожному елементу x з області визначення D за деяким правилом поставлено у відповідність один і тільки один елемент y з області значень E , то говорять, що задано функцію y=f ( x ) .

Функцію на практиці задають таблично, графічно, аналітично (за допомогою формули).

Приклад . Залежність (функцію) прибутку від витрат на рекламу задана такою таблицею:

Витрати на рекламу x	Прибуток f (x )
50	80
100	220
140	240
160	210
200	160

Областю визначення цієї функції є множина D ={50;100;140;160;200}, областю значень – множина E ={80;220;240;210;160} .

Приклад . Залежність (функція) Q ( p ) попиту Q на товар від його ціни p задана графіком (рис. 4.1).

Q

Q ₁

Q ₂

p ₁ p ₂ p

Рис. 4.1.

Областю визначення цієї функції є відрізок D =[p ₁ ;p ₂ ] , а областю значень – відрізок E =[Q ₁ ;Q ₂ ] .

Приклад . Загальні витрати TC на виробництво Q одиниць продукції є функцією, що задана аналітично:

TC (Q ) = 20 + 5Q ,

де 20 ‑ це фіксовані витрати (опалення, зарплата сторожеві, тощо), а 5 – це змінні витрати (витрати на кожну одиницю продукції).

Означення. Число b називається границею функції y=f (x ) в точці a , якщо для довільної послідовності {x _n } , що збігається до точки (числа) a , відповідна послідовність значень функції {f (x _n )} буде збігатися до числа b .

Використовують позначення

За допомогою кванторів ∃ та ∀ це означення можна записати так:

≡ (∀e>0)(∃d>0)(∀x )[|x -a |<d® |f (x )-b | <e]

Приклад. Розглянемо функцію .

і співпадає із значенням y (1) = 2 ;

;

не існує.

Приклад . Розглянемо функцію .

Тут , хоча y (10)=5.

Границі функцій мають такі властивості:

1. якщо існують границі та , то

;

2. якщо існують границі та , то

;

3. якщо існують границі та , причому , то .

Означення. Функція y =f (x ) називається неперервною в точці x = a , якщо існує границя цієї функції в точці a і

Приклад . Зарплата W продавця залежно від кількості x проданого товару (рис. 4.2) є функцією вигляду

W

50 x

Рис. 4.2.

Функція W (x ) у точці x =50 не є неперервною (вона має розрив). Справді, хоча W (50)=200 , проте границі не існує.

Приклади обчислення границь:

(тут використано властивість неперервності функцій та y =x ² );

2) знайти . Безпосередньо застосувати третю властивість не можна, оскільки , тому спершу скорочуємо дріб.

Тепер ;

3).

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать