Аналітична геометрія на площині

Реферат на тему:

Аналітична геометрія на площині

Пряма лінія на площині найчастіше задається у вигляді рівняння

y = k × x + b (2.3)

де k=tg a ‑ нахил цієї прямої до осі O X (рис 2.3,а).

Часткові випадки розташування прямої (y=kx , x=a , y=b ) показані, відповідно, на рис.2.3б-г.

y y y y

b

b

x 135⁰ x x x

a

а б в г

Рис.2.3

Загальне рівняння прямої на площині має вигляд

Ax + By + C = 0 (2.2)

Якщо B ¹0 , то рівняння (2.2) можна перетворити у (2.1).

Приклади . Побудувати графіки прямих y =1-x та 2x -y +2=0. У першому прикладі k=tg a = -1, отже a=135⁰ (рис. 2.4,а). В другому прикладі маємо y =2x +2 , отже, k=tg a = 2 (рис. 2.4,б).

y y

2x -y +2=0

y =1-x 2

1

a=135⁰

1 x -1 x

а б

Рис. 2.4

Наведемо ще деякі з рівнянь, які задають пряму на площині.

Пряма, яка проходить через дві задані точки (x ₁ ;y ₁ ) та (x ₂ ;y ₂ ):

, (2.3)

або, що те саме,

. (2.3¢)

Пряма, яка проходить через задану точку (x ₁ ;y ₁ ) паралельно до заданої прямої y=ax+b :

y-y ₁ =a (x-x ₁ ) (2.4)

Пряма, яка проходить через задану точку (x₁ ;y₁ ) перпендикулярно до заданої прямої y=ax+b :

(2.5)

Рівняння прямої у відрізках

(2.6)

Переходи від одного вигляду рівняння прямої до іншого виконують за допомогою нескладних перетворень.

Приклад . Загальне рівняння прямої має вигляд 2x-y +2=0.

Перейдемо до рівняння прямої у відрізках:

-2x+y =2,

.

Перейдемо до рівняння з кутовим коефіцієнтом:

y =2x +2.

Візьмемо на нашій прямій дві точки, наприклад, (x ₁ ;y ₁ )=(-1;0) та (x ₂ ;y ₂ )=(0;2),і побудуємо рівняння прямої, яка проходить через ці дві точки:

.

Наведемо ще декілька формул щодо прямих на площині.

Кут між прямими y =a ₁ x +b ₁ та y =a₂ x +b ₂ обчислюється за формулою

Прямі y =a ₁ x +b ₁ та y =a ₂ x +b ₂ отже, є паралельними, якщо a ₁ =a ₂ , та перпендикулярними, якщо a ₁ ×a ₂ = -1.

Точка перетину прямих є розв’язком системи рівнянь

.

Відстань від точки M (x ₁ ;y ₁ ) до прямої Ax+By+C =0 визначають за формулою

.

Приклад . Попит Q (кількість товару, що буде куплено) на товар залежно від його ціни p на ринку задається формулою p=p (Q )=500-10Q . Пропозицію Q (кількість товару, що потрапить на ринок) залежно від ціни задає формула p =p (Q )=50+5Q .

Зобразити графічно криві попиту та пропозиції і визначити ціну рівноваги.

Маємо такий графік (рис.2.5).

p

500

Пропозиція

p ^*

Попит

50

Q ^* Q

Рис. 2.5.

Ціну рівноваги p ^* (а також рівноважний випуск Q ^* ) визначаємо як точку перетину прямих попиту та пропозиції, тобто розв’язуємо систему лінійних рівнянь

.

Помноживши друге рівняння на 2 і додавши до першого, отримаємо p ^* =200 та Q ^* =30 .

Приклад . Нехай ринкова ціна за одиницю деякого виробу становить p =10. Витрати, пов’язані з випуском кожної одиниці цього виробу в деякій фірмі, V _c =5 (змінні витрати). Постійні витрати фірми становлять F _c =40. Визначити обсяг виробництва Q , за якого фірма матиме прибуток.

Загальні витрати фірми на виготовлення Q одиниць продукції описуються залежністю

T _c = F _c + Q × V _c = 40+5Q .

Доход фірми від виготовлення і реалізації Q одиниць продукції становить

T _R = p ×Q =10Q .

Визначимо такий випуск Q ^* , за якого доход фірми збігається з її витратами:

T _R = T _C ,

10Q = 40+5Q ,

Q ^* = 8 .

Отже, прибуток (різниця між доходом і витратами) в цій моделі починається при Q ^*