Про систему задач для вивчення інтеграла

Система задач для вивчення первісної та інтеграла в навчальному посібнику (1) недостатньо досконала. Завдання тут в основному зводяться до обчислення площ фігур (№1022-1027, 1037-1042, 1081-1087) і інтеграла (1028-1036, 1071-1080), тобто, так як і в задачниках з математичного аналізу для втузів, мають тренувальний характер. Між тим відомо, що різноманітність задач допомагає краще засвоїти вивчаюче поняття, його різні прояви. До того ж у запропонованих в (1) задачах недостатньо використовуються раніше засвоєні знання, поняття інтеграла тим самим немов ізолюється від іншого курсу алгебри та початків аналізу, при розв’язуванні задач не закріпляються раніше здобуті знання.

В методичній літературі є деякі спроби спростити систему вправ для вивчення первісної та інтеграла. Так, наведені деякі вправи у збірнику задач (3), але в більшості вони важкі для учнів XI класу й іноді далеко виходять за рамки шкільної програми. Деякі цікаві і змістовні вправи є в (4), (2), (5), але тут поміщені тільки деякі задачі.

В цій статті пропонуються задачі, для розв’язку яких крім знань про інтеграл застосовуються знання, уміння і навички з інших розділів алгебри і початків аналізу. При цьому розширюється клас функцій, інтеграли від яких можуть бути обчисленні учнями XI класу, досягається необхідна різноманітність задач, піднімається зацікавленість учнів у вивченні цього розділу програми.

I

Відомо, що міцні, стійкі і гнучкі вміння формуються тоді, коли вони застосовуються разом із раніше здобутими уміннями і навичками. Саме таким чином знову сформовані уміння включаються у систему знань і умінь учнів. До того ж розв’язування задач, які потребують застосування раніше отриманих знань, істотно допомагає закріпленню вивченого і сприяє формуванню важливого вміння застосовувати знання в різноманітних ситуаціях.

На уроках у XI класі будуть корисними задачі, в яких знаходженню первісної (обчисленню інтеграла) передувало б спрощення або перетворення формули, що задає функцію. Такі наступні задачі.

1. Знайдіть яку-небудь первісну для заданої функції:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з*) .

2. Обчисліть інтеграл, виконавши перед тим необхідні перетворення підінтегральної функції:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е*);

ж) ;

з) ;

и*) ;

к) ;

л) .

Вказівка: В в) і д) потрібно скористатися визначенням модуля, в г) і л) застосувати рівність . Для перетворення підінтегральної функції в е) потрібно використати рівність . В ж) до результату приводить виділення цілої частини дробу. Інтеграл и) обчислюється двічі застосувавши тотожність .

3*. Перетворивши підінтегральну функцію, обчисліть інтеграл:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Додаткового часу, як і додаткових завдань, для розгляду наведених задач фактично не потрібно: їхній розв’язок потрібно зв’язати з повторенням.

Можна пропонувати і такі задачі на обчислення інтегралів, які потребують більш складніших перетворень тригонометричних виразів.

4*. Обчисліть інтеграл:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

Розв’язок задачі 4 (д):

Задачі 3–4 корисно розглядати на позакласних або факультативних заняттях.

Принесе користь розв’язування і наступних задач.

5. Обчисліть, попередньо перетворивши підінтегральну функцію:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

До цього часу розглядалися вправи, в яких потрібно було обчислити інтеграл, використовуючи для цього відомості із попереднього курсу алгебри і математичного аналізу. Але і задачам, в яких інтеграл відіграє допоміжну роль, потрібно відвести час на уроках або позакласних заняттях. Ось приклади таких вправ.

6. Розв’яжіть рівняння:

а) ;

б*) ;

в*) .

7. Знайдіть всі значення такі, що і є коренем рівняння:

а) ;

б) .

8. Знайдіть множину невід’ємних коренів рівняння: .

9. Знайдіть множину значень , для яких правильна нерівність:

а) ;

б) <4.

10*. Знайдіть найменше і найбільше значення інтеграла:

а) ;

б) .

II

Глибоке розуміння геометричного змісту інтеграла допомагає як обчислювати площі різних фігу, так і знаходити числові значення інтегралів, обчислювати які за відомими вивчаючими формулами не вдається.

Скориставшись геометричним змістом інтеграла, можна знаходити числові значення інтеграла від деяких функцій, методи інтегрування яких не відомі учням, а площі фігур, обмежених графіками підінтегральних функцій, можна обчислювати і без допомоги інтеграла.

11. Виходячи із геометричного змісту інтеграла обчисліть:

а) ;

б) ;

в*) ;

г*) ;

д*) ;

е*) .

В деяких випадках обчисленню інтеграла допомагають і додаткові міркування, наприклад застосування симетрії.

12*. Обчисліть: .

Р о з в’ я з о к. Значення інтеграла чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції (рис. 1). Якщо доповнити цю трапецію до прямокутника, сторони якого задані рівнянням а площа дорівнює то із міркувань симетрії відносно точки ясно, що .

Рис.1

Геометрич

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать