Функції та способи їх задання

Реферат

з предмету „Вища математика”

на тему:

„Функції та способи їх задання”

План

1. Деякі властивості функції.

2. Області визначення та значення функції заданої аналітично.

3. Основні елементарні функції.

4. Складні та елементарні функції.

ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

ФУНКЦІЯ

Поняття функціональної залежності

Величина називається змінною (сталою), якщо в умовах даної задачі набуває різних (тільки одне) значень.

Розглянемо дві змінні величини .

Означення : Функцією у = f ( x ) називається така відповідність між множинами D і Е , при якій кожному значенню змінної х відповідає одне й тільки одне значення змінної у .

При цьому вважають, що:

х — незалежна змінна або аргумент;

у — залежна змінна або функція;

f — символ закону відповідності;

D — область визначення функції;

Е — множина значень функції.

Розрізняють три способи завдання функції: аналітичний, графічний і табличний.

Означення : Функція у = F ( u ) , де и = (х) , називається складною функцією, або суперпозицією функцій F ( u ) та (х) і позначається у = F ( (х)) .

Приклад : — складна функція, вона буде суперпозицією трьох функцій: у = 2 ^u , и = v ² , v = sin x .

Означен н я : Нехай функція у = f ( х) встановлює відповідність між множинами D та Е . Якщо обернена відповідність між множинами Е та D буде функцією, то вона називається оберненою до даної у = f ( x ) і її позначають

За означенням, для взаємно обернених функцій маємо

Приклад : - взаємно обернені функції:

Графіки взаємно обернених функцій си­метричні відносно прямої у = х (рис. 3.1).

Означення : Функція (функціональна залежність змінної у від змінної х) називається

неявною, якщо задана рівнянням F ( x , у) = 0 , яке не розв'язане відносно змінноїy .

Приклад : Рівняння у+х+2^у =0 ви­значає неявну функцію у від х .

Загальні властивості функцій

Означення : Множина всіх значень аргумента, для яких можна обчисли­ти значення функції, називається природною областю визначення функції. Область визначення може бути заданою; у цьому випадку вона залежитьтакож від умови задачі.

Приклад: Знайти область визначення функції

D ( y )=(-1; 0) (0; 1] - природна область визначення. Якщо за умо­вою задачі х — відстань, а це означає, що х 0 , тоді D ( y ) ==(0; 1] — зада­на область визначення.

Означення : Функція у = f ( x ) називається парною (непарною), якщо для будь-якого х D виконується умова f (- x ) = f ( x ) ( f (- x ) = - f (х)) .

Функція буде ні парною, ні непарною, якщо для х D , f (- x ) f ( x ) .

Приклад: у = cos х — парна функція (графік функції симетричний від­носно осі ординат (рис. 3.2)), бо у(х)= cos (- х)= cosx =у(х);у= arctgx — непарна функція (графік функції симетричний відносно початку координат (рис. 3.3)), бо у(- х)= = arctg (- х)= - arctgx = - у(х); у = arccosx — ні парна, ні непарна (рис. 3.4), бо у(-x)= arccos (- х)= - arccosx * ± у(х ).

Означення : Функція у = f ( x ) називається періодичною, якщо для х D виконується умова f ( x +Т) = f ( x - T ) = f ( x ) , де число Т — період функції.

Приклад : у = tgx — періодична функція з мінімальним періодом Т =

(див. рис. 3.5), бо tg ( x +) = tg ( х -) = tgx .

Означення : Функція у - f ( x ) називається обмеженою на множині D , якщо для всіх х D виконується умова де М > 0 — деяке скінченне число.

Приклад : y = arcsinx — обмежена функція для всіх х [- 1; 1] (рис. 3.6), бо

Означення : Функція у - f

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать