Різницевий метод розв язування звичайних диференціальних рівнянь Апроксимація Метод прогонки

Різницевий метод розв'язування

звичайних диференціальних рівнянь.

Апроксимація. Метод прогонки

Розглянемо задачу:

[0, 1] розіб'ємо на n частин, ,

Розглянемо розклади

Із (3),(4) одержимо

(5),(6),(7) – різницеві співвідношення, які апроксимують 1,2 похідну. Використовуючи різницеві співвідношення (5),(6),(7) апроксимуючи оператори L , l одержимо задачу:

Щоб порівнювати фунції u ^(h) i u , f ^(h) i f , введем норму

Означення 1:

Оператор L _h (l ) апроксимує на функції u оператор L (l ) з порядком апроксимації К , якщо , що має місце:

Означення 2:

f _h () апроксимує f () з порядком апроксимації К , якщо , що має місце:

Означення 3:

Різницева схема (8), (9) апроксимує крайову задачу (1), (2) з порядком апроксимації к, якщо виконуються умови (10-13).

Розглянемо апроксимацію оператора крайових або початкових умов.

Відзначимо, що розв'язок задачі (14-15) задовільняє і ряд тривіальних умов. Наприклад:

Оператор апроксимуєм різницевим оператором

Враховуючи, що , одержимо:

, тобто

Щоб одержати апроксимацію вищого порядку, треба використовувати тривіальні умови

Використаємо тривіальні умови для визначення ; із рівняння

Замість задачі (14), (15) можем розглядати задачу

тому, що розв'язок задачі (14-15) однозначно визначається умовами (14), (16).

Для підвищення порядку апроксимації можна користуватись ще формулами:

Метод прогонки

Виберемо сітку х₀ , х₁ …х _N , x₀ =a, x_n =b, h=(b-a)/n

Різницеву схему (3), (4) перетворимо до вигляду:

Розглянутий метод називається різницевим методом прогонки.

Якщо різницева задача (5),(6) має вигляд:

То проводячи аналогічні викладки одержимометод правої прогонки, якщо

то метод буде стійким до похибки округлень

Якщо виконуються умови:

то можна застосовувати метод лівої прогонки, який буде стійкий до похибок заокруглень

Приклад: знайти розв'язок задачі

в точках х _n =0, 1n, n=0,1,…10

Розв'язок:

Практична задача апроксимується на сітці х _n =0, 1n, n=0,1,…10 різницевою схемою

Для розв'язку використовуємо метод правої прогонки

1) Знаходимо прогоночні коефіцієнти:

2) Значення у _n обчислюємо по співвідношенням

Результати обчислень зручно записувати в таблицю:

n	x n	z n	y n	Індивідуальне завдання з книжки “Сборник задач по методах вычислений” под ред. Монас-тырского, ст. 217, 204 точний розв'язок – y(x) = (1-x) 2
0	-	-	1
1	0	1	0.81
2	0.5	0.49	0.64
3	0.66667	0.31333	0.49
4	0.75	0.22	0.36
5	0.8	0.16	0.25
6	0.83333	0.11667	0.16
7	0.68714	0.08286	0.09
8	0.87500	0.05500	0.04
9	0.88889	0.03111	0.01
10	0.9	0.0100	0

До питання про існування розв'язку різницевої схеми

На сітці х₀ , х₁ …х _N , x₀ =a, x_n =b, h=(b-a)/n апроксимуємо різницевою схемою

Різницева схема (3-4) має єдиний розв'язок, якщо відмінний від 0 її детермінант

Ця умова (7) не зручна для перевірки, тому існування розв'язку доводять використовуючи теорему:

Теорема (дискретний принцип максимуму )

Нехай 1) p(x), g(x), f(x) – достатньо гладкі функції;

2) g(x) 0 на [a, b ]

3) h настільки мале, що

Тоді, якщо у внутрішніх точках проміжку [a,b<

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать