Теория устойчивости систем

Министерство образования РФ

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра Автоматики и управления

Реферат

по математическим основам теории систем

на тему

Теория устойчивости систем

Выполнил:

Группа: ПС-263

Проверил: Разнополов О. А.

Челябинск

2003

Содержание:

1. Устойчивость в смысле Ляпунова............................................................... 3

2. Свойства устойчивых систем...................................................................... 4

3. Устойчивость тривиального решения........................................................ 4

4. Устойчивость линейных систем.................................................................. 5

5. Устойчивость линейных систем с постоянными коэффициентами............ 5

6. Критерии устойчивости линейных систем................................................. 6

7. Второй метод Ляпунова.............................................................................. 8

8. Линеаризация систем дифференциальных уравнений............................. 10

9. Исследование устойчивости линейных систем с помощью второго метода Ляпунова......................................................................................................................... 12

10. Исследование устойчивости нелинейных систем с помощью второго метода Ляпунова........................................................................................................ 12

11. Экспоненциальная устойчивость............................................................ 16

12. Главная обратная связь по состояниям. Метод модального управления 19

13. Асимптотический наблюдатель Люенбергера....................................... 21

Список литературы....................................................................................... 23

1. Устойчивость в смысле Ляпунова

Под устойчивостью системы обычно понимают свойство системы автоматического регулирования (САР) возвращаться к первоначальному состоянию после прекращения действия внешнего возмущения. Полагая, что САР описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений , рассмотрим устойчивость решения дифференциальных уравнений. Пусть поведение САР описывается системой обыкновенных дифференциальны х уравнений

,

где xi – переменные, характеризующие состояние системы. Запишем систему в векторном виде:

Введем в рассмотрение (n+1)-мерное пространство En +1, координатами в котором будут являться переменные t, x 1, x2, …, xn. Будем рассматривать только такие системы, правые части которых непрерывны по всем аргументам и имеют непрерывные частные производные по зависимым переменным x1, x2, …, xn в некоторой выпуклой области G пространства En+1. В этом случае выполняются условия теоремы существования и единственности, то есть для любых начальных значений t 0, x10, x20, …, xn0 существует и при том единственное решение 2. Свойства устойчивых систем

Система, описываемая векторным дифференциальным уравнением

3. Устойчивость тривиального решения

Исследование устойчивости любого решения системы

,

можно свести к исследованию устойчивости тривиального решения .

Пусть xi=si(t) – некоторое решение системы. Введем новые переменные yi =xi–si(t), тогда

Очевидно, что gi(0,0,…,0)4. Устойчивость линейных систем

Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений

где aij(t) и fi(t) – непрерывные функции в полуинтервале t0≤t<¥.

Однородная система, соответствующая данной, имеет вид

5. Устойчивость линейных систем с постоянными коэффициентами

Рассмотрим устойчивость линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами :

,

где A – квадратная матрица постоянных коэффициентов, – вектор-столбец неизвестных функций.

Пусть l 1,…,lk – различные корни характеристического уравнения det(A–lE)=0, а e1,…,ek – максимальные показатели степени элементарных делителей, соответствующих этим корням. Решение исходной системы имеет вид:

,

причем Pi(t) – вектор-столбец, элементами которого являются многочлены от t; степень этих многочленов не превышает ei–1.

Для устойчивости линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения системы имели неположительные вещественные части, причем элементарные делители, соответствующие корням характеристического уравнения с нулевой вещественной частью, были бы простыми. Из этой теоремы следует, что линейная система с постоянными коэффициентами будет устойчивой и в случае кратных корней характеристического уравнения, лежащих на мнимой оси плоскости l, только этим корням должны соответствовать простые элементарные делители, то есть соответствующая клетка Жордана должна состоять из одного элемента.

Рассмотрим устойчивость линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами:

.

Характеристическое уравнение:

.

Это характеристическое уравнение имеет корень li кратности ei.

Для устойчивости линейного дифференциа

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать