Динамические структуры данных: двоичные деревья

Дерево — это совокупность элементов, называемых узлами (при этом один из них определен как корень), и отношений (родительский–дочерний), образующих иерархическую структуру узлов. Узлы могут являться величинами любого простого или структурированного типа, за исключением файлового. Узлы, которые не имеют ни одного последующего узла, называются листьями.

В двоичном (бинарном) дереве каждый узел может быть связан не более чем двумя другими узлами. Рекурсивно двоичное дерево определяется так: двоичное дерево бывает либо пустым (не содержит ни одного узла), либо содержит узел, называемый корнем, а также два независимых поддерева — левое поддерево и правое поддерево.

Двоичное дерево поиска может быть либо пустым, либо оно обладает таким свойством, что корневой элемент имеет большее значение узла, чем любой элемент в левом поддереве, и меньшее или равное, чем элементы в правом поддереве. Указанное свойство называется характеристическим свойством двоичного дерева поиска и выполняется для любого узла такого дерева, включая корень. Далее будем рассматривать только двоичные деревья поиска. Такое название двоичные деревья поиска получили по той причине, что скорость поиска в них примерно такая же, что и в отсортированных массивах: O(n) = C • log2n (в худшем случае O(n) = n).

Пример. Для набора данных 9, 44, 0, –7, 10, 6, –12, 45 построить двоичное дерево поиска.

Согласно определению двоичного дерева поиска число 9 помещаем в корень, все значения, меньшие его — на левое поддерево, большие или равные — на правое. В каждом поддереве очередной элемент можно рассматривать как корень и действовать по тому же алгоритму. В итоге получаем

Выделим типовые операции над двоичными деревьями поиска:

добавление элемента в дерево;

удаление элемента из дерева;

обход дерева (для печати элементов и т.д.);

поиск в дереве.

Поскольку определение двоичного дерева рекурсивно, то все указанные типовые операции могут быть реализованы в виде рекурсивных подпрограмм (на практике именно такой вариант чаще всего и применяется). Отметим лишь, что использование рекурсии замедляет работу программы и расходует лишнюю память при её выполнении.

Пусть двоичное дерево поиска описывается следующим типом

Type BT=LongInt; U = ^BinTree; BinTree = Record Inf : BT; L, R : U End;

Покажем два варианта добавления элемента в дерево: итеративный и рекурсивный.

{Итеративный вариант добавления элемента в дерево, Turbo Pascal}

Procedure InsIteration(Var T : U; X : BT);

Var vsp, A : U;

Begin

New(A); A^.Inf := X; A^.L:=Nil; A^.R := Nil;

If T=Nil Then T:=A

Else Begin vsp := T;

While vsp <> Nil Do

If A^.Inf < vsp^.Inf

Then

If vsp^.L=Nil Then Begin vsp^.L:=A; vsp:=A^.L End Else vsp:=vsp^.L

Else

If vsp^.R = Nil Then Begin vsp^.R := A; vsp:=A^.R End Else vsp := vsp^.R;

End

End;

{Рекурсивный вариант добавления элемента в дерево, Turbo Pascal}

Procedure InsRec(Var Tree : U; x : BT);

Begin

If Tree = Nil

Then Begin

New(Tree);

Tree^.L := Nil;

Tree^.R := Nil;

Tree^.Inf := x

End

Else If x < Tree^.inf

Then InsRec(Tree^.L, x)

Else InsRec(Tree^.R, x)

End;

Аналогичнона C++.

typedef long BT;

struct BinTree{

BT inf;

BinTree *L; BinTree *R;

};

/* Итеративный вариант добавления элемента в дерево, C++ */

BinTree* InsIteration(BinTree *T, BT x)

{ BinTree *vsp, *A;

A = (BinTree *) malloc(sizeof(BinTree));

A->inf=x; A->L=0; A->R=0;

if (!T) T=A;

else {vsp = T;

while (vsp)

{if (A->inf < vsp->inf)

if (!vsp->L) {vsp->L=A; vsp=A->L;}

else vsp=vsp->L;

else

if (!vsp->R) {vsp->R=A; vsp=A->R;}

else vsp=vsp->R;

}

}

return T;

}

/* Рекурсивный вариант добавления элемента в дерево, C++ */

BinTree* InsRec(BinTree *Tree, BT x)

{

if (!Tree) {Tree = (BinTree *) malloc(sizeof(BinTree));

Tree->inf=x; Tree->L=0; Tree->R=0;

}

else if (x < Tree->inf) Tree->L=InsRec(Tree->L, x);

else Tree->R=InsRec(Tree->R, x);

return Tree;

}

Существует несколько способов обхода (прохождения) всех узлов дерева. Три наиболее часто используемых из них называются обход в прямом (префиксном) порядке, обход в обратном (постфиксном) порядке и обход во внутреннем порядке (или симметричный обход). Каждый из обходов реализуется с использованием рекурсии.

Ниже приведены подпрограммы печати элементов дерева с использованием обхода двоичного дерева поиска в обратном порядке.

{Turbo Pascal}

Procedure PrintTree(T : U);

begin

if T <> Nil

then begin PrintTree(T^.L); write(T^.inf : 6); PrintTree(T^.R) end;

end;

// C++

void PrintTree(BinTree *T)

{

if (T) {PrintTree(T->L); cout << T->inf<< " "; PrintTree(T->R);}

}

Реализуем функцию, возвращающую true (1), если элемент присутствует в дереве, и false (0) — в противном случае.

{T

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать