Проверка непротиворечивости исходных описаний конечных автоматов

Ю.М. Вишняков

В 60-70-х годах на теорию конечных автоматов (КА), как универсальный инструментарий описания и синтеза цифровых схем, возлагались большие надежды. Однако возможности технологического базиса и информационные технологии того времени ограничили практическое использование теории КА только рамками структурного синтеза. Абстрактный синтез так и остался предметом теоретических изысканий. Сегодня в автоматизированном проектировании происходит интенсивный переход к интегрированным инструментальным средствам, осуществляющим сквозную разработку проектов на всех уровнях. В таких системах наряду со стандартными средствами проектирования топологии и моделирования должны присутствовать и средства реализация проектных процедур логического синтеза. Таким образом сегодня сформированы практические потребности и имеются все условия, чтобы абстрактная теория КА заняла достойное место в автоматизированном проектировании. Однако в этом плане она должна быть переработана в контексте сквозного автоматизированного проектирования.

В рамках этой цели предлагаемая работа развивает абстрактный синтез в части построения непротиворечивых описаний КА на языке регулярных выражений.

Пусть заданы входной X={X₁ ,X₂ ,...,X_n } и выходной Y={Y₁ ,Y₂ ,...,Y_m } алфавиты. КА перерабатывает входные слова (цепочки) aÎX* в выходные bÎY* в соответствии с алфавитным (автоматным) оператором b=F(a) (А-оператор). Доказано, что обрабатываемые КА множества цепочек, относятся к классу регулярных множеств (РМ), которые задаются через правила их порождения, называемые регулярными выражениями (РВ) [1].

В алгебре РВ по определению Æ, l (пустая цепочка), X₁ , X₂ , ..., X_n являются элементарными РВ. Если e₁ , e₂ , e - РВ, то результаты операций e₁ *e_{2 -} (конкатенации), e₁ |e₂ (ИЛИ), {e} (Клини), (e) (круглые скобки) также являются РВ. Также отметим, что порождаемое множество цепочек или язык РВ e обозначают через |e|.

Представим А-оператор через систему РВ (СРВ). Для этого выделим в X* подмножества регулярных цепочек E₁ , E₂ , ..., E_m (в общем случае бесконечных) таким образом, чтобы цепочка aÎE₁ приводила к появлению на выходе КА буквы Y_1, aÎE₂ - буквы Y₂ , aÎE_m -.Y_{m .} Для случая aÎX*(E₁ E₂ ...E_m ) определим дополнительную букву Y_m+1 . Также введем условие непротиворечивости E_i E_j = (i,j=1..m, i¹j). Представим каждое множество E_i порождающим его регулярным выражением (РВ) e_i (|e_i |= E_i ). Тогда представляющая КА система соотношений вида (1) и называется СРВ:

(1)

Поскольку взаимно однозначное соответствие между языком и порождающим его РВ отсутствует (например, РВ а{a} и {a}a порождают различными способами один и тот же язык), построение непротиворечивой CРВ требует далеко нетривиальных действий. И в этой связи можно предположить, что средства исследования непротиворечивости СРВ нужно искать вне алгебры РВ.

Ближайшей моделью к РВ, которой может быть промоделирован разбор цепочек, является система переходов (СП), дуги которой взвешены буквами входного алфавита. КА с выходным алфавитом Y={0,1}, распознающий язык |e|, называют конечным распознавателем (КР). Представление КР в виде диаграммы состояний (рис.1), в которой начальная вершина S и конечная вершина Z связаны дугой e называется системой переходов (СП). Здесь любая цепочка aÎ|e| переводит КА из состояния S в состояние Z [2].

СП элементарных РВ приведены на рис.2. В соответствии с алгеброй РВ СП любого РВ e можно представить в виде композиции элементарных СП. Такую СП будем называть приведенной и обозначать через СП_п . Введем на СП_п ряд понятий.

Определение 1. Если из некоторого состояния Q исходит l-дуга в состояние A₁ , из состояния A₁ в состояние A₂ и т.д. до состояния Т, а из состояния Т нет исходящих l-дуг, то будем говорить, что состояние Q связано с состоянием Т линейным l-путем.

Определение 2. Если из некоторого состояния Q исходит l-дуга в состояние А₁ , а из состояния А₁ в состояние А₂ и т.д. состояния A_k , а из состояния A_k в состояние Q, то будем говорить, что состояние Q, A₁ , A₂ ,..., A_k входят в один и тот же кольцевой l-путь.

Длиной l-пути будем называть число входящих в него l-дуг.

Определение 3. Блоком состояний (БС) для некоторого состояния Q БС(Q) назовем множество состояний, включающих само состояние Q и все состояния , входящие в l-пути, исходящие из состояния Q.

Если из состояния Q не исходит l-путей, то БС(Q)= {Q}. В дальнейшем БС(Q), включающий более чем одно состояние, будем обозначать l- БС(Q).

Определение 4. Если из состояния Q исходит один или несколько l-путей единичной длины, то l- БС(Q) назовем простым, в противном случае составным.

Введем на СП функцию разбора m, представляющую отображение {БС}Х ® БС. Ее по аналогии с функцией переходов запишем в виде БС=m(БС(Q),x_i ). Цепочка a