Один метод построения полигональных изображений

Василий Терешков

Построение изображений трехмерных объектов при помощи компьютера – тема, которая издавна привлекала особое внимание программистов и разработчиков аппаратных средств. С появлением эффективных графических библиотек (Direct3D, OpenGL и т.п.) и специализированных видеокарт интерес к математическим основам машинной графики снизился, поскольку у программистов исчезла необходимость самостоятельно создавать алгоритмы построения изображений. В этом одна из сторон печальной тенденции превращения программирования из искусства в ремесло.

Все же немало есть и тех, кто захочет не только получить результат, но и узнать, что лежит между интерфейсом графической библиотеки и готовой картинкой на экране. Для них и предназначена эта статья, в которой мы постараемся изложить суть одного метода построения трехмерных изображений, быть может, не самого эффективного.

Терминология

Прежде поясним некоторые математические понятия, которыми будем пользоваться в дальнейшем.

Мировая система координат – в нашем случае пространственная прямоугольная система координат (СК), две оси которой (X и Y) направлены по сторонам экрана монитора, а третья – от наблюдателя.

Экранная система координат – СК в плоскости экрана, ее оси совпадают с осями X и Y мировой СК.

Система координат модели – СК, относительно которой в файле заданы координаты всех вершин модели, изображение которой строится.

Вектор – направленный отрезок, его положение будем задавать либо координатами начала и конца, либо их разностями (собственно координатами вектора). Длина (модуль) вектора рассчитывается как квадратный корень из суммы квадратов его координат – это следствие теоремы Пифагора. Скалярное произведение векторов – число p, определяемое следующим образом: или, где |A| и |B| - длины векторов A и B, x, y, z – их координаты, t – угол между ними. Коллинеарные векторы – два или более вектора, лежащие на одной прямой или параллельных прямых. Компланарные векторы – три или более вектора, которые при отложении из одной точки оказываются лежащими в одной плоскости. Если векторы A, B, C компланарны, то вектор C можно разложить по векторам A и B, то есть C=aA+bB, где a и b – некоторые коэффициенты. Нормаль к вектору – вектор единичной длины, перпендикулярный данному. На плоскости координаты нормали к вектору P(x; y) определяются по формулам:

Определитель – алгебраическое выражение, записанное в особой форме. Мы будем использовать определители 3-го порядка:

Существует мнемоническое правило вычисления определителей 3-го порядка – так называемое правило Саррюса, с которым можно ознакомиться в специальной литературе.

Используемые данные и их представление

Возможно, вы обратили внимание на слово «полигональный» в заголовке статьи. Поясним его смысл. «Полигон» в переводе на русский язык означает «многоугольник», а «полигональный» – «составленный из многоугольников». В применении к машинной графике это означает, что для построения изображения произвольного тела сначала создается его модель – сложный многогранник, все грани которого представляют собой многоугольники, как правило, простейшие, - треугольники.

В файле с информацией о модели должны быть каким-либо образом заданы координаты всех вершин (их число может достигать нескольких тысяч) и порядок их соединения. Если предполагается наложение текстур, то каждой вершине должны быть приписаны еще два числа – текстурные координаты u, v. Их смысл в следующем. Текстура представляет собой плоское растровое изображение, которое должно быть наложено на пространственную модель без разрывов. Это предполагает неравномерную деформацию текстуры – ее сжатие и растяжение. Но одновременно требуется, чтобы текстура не «сползла», то есть во всех вершинах модели оказались строго определенные точки растра. Эти точки и задаются координатами u, v в системе координат, связанной с текстурой. Хорошей механической аналогией может послужить кусок резины, натягиваемый на каркас и прикрепляемый булавками в вершинах каркаса.

С технической точки зрения хранить все эти данные удобнее всего в двоичном файле, содержащем три массива:

Отдельно требуется указать ракурс, под которым будет видна модель. Наиболее удобным для пользователя было бы задание оси вращения в виде вектора и угла поворота вокруг нее. Однако значительно проще реализовать последовательные повороты по трем углам: вокруг оси X, вокруг оси Y’, в которую перешла ось Y при первом повороте, вокруг оси Z’’, в которую перешла ось Z’ при втором повороте.

Алгоритм построения изображения

Изображение модели строится по отдельным граням, а изображение грани – по отдельным точкам, для каждой из которых определяется цвет. При этом, во-первых, закрашены должны быть все точки